§ 27.12. Задача Тэта. Теория огибающих.

Интересно получить решение задачи Тэта с помощью теории огибающих. Как мы уже видели, поверхность равного действия порождаемая поверхностью служит огибающей поверхностей равного действия относительно отдельных точек (§ 27.9). Здесь, однако, имеется некоторая тонкость. Поскольку в точке траектории направлены горизонтально, допускается лишь меньшее из двух возможных значений времени достижения точек как § 27.10, мы можем написать

где теперь

а к представляет приращение функции действия при переходе вдоль траектории из точки в точку Для нахождения огибающей нужно исключить из уравнения (27.12.2) и уравнения

Легко убедиться непосредственной проверкой, что последнее уравнение эквивалентно

уравнению траектории; поэтому его можно заменить более простым:

Как уже отмечалось, огибающей этого семейства парабол служит пара прямых точка касания определяется формулой На дуге (рис. 112) имеем а на дуге

Теперь нужно исключить из уравнений (27.12.2) и (27.12.5). Проделав это. будем иметь

откуда, учитывая (27.12.5), находим

Таким образом,

где обозначено через через Далее, из уравнения

находим

Рис. 112.

Следовательно, вдоль дуги

а вдоль дуги

Теперь легко составить уравнение огибающей. Рассмотрим каждый случай в отдельности. Для дуги имеем

и следовательно,

Окончательно получаем

Аналогично, для дуги

и, следовательно,

В окончательном виде будем иметь

Формулы (27.12.16) и (27.12.19) эквивалентны уравнениям (27.11.7) при , что мы и хотели доказать.