§ 26.3. Точки минимума и седловые точки.

Рассмотрим голономную систему с степенями свободы. Движение системы характеризуется тем, что траектория в пространстве доставляет стационарное значение интегралу по сравнению с его значениями на соседних кривых соединяющих те же концевые точки. Соответствующее движение в пространстве переменных происходит вдоль кривой которая доставляет стационарное значение интегралу по сравнению с его значениями на соседних кривых при фиксированных концевых значениях переменных и свободных концевых значениях Оба указанных интеграла имеют, разумеется, одинаковые значения для действительного движения в каждом частном случае. Однако, как указывал в свое время Гильберт, в то время как первый интеграл может достигать минимума, второй интеграл для той же задачи может не иметь ни максимума, ни минимума.

Для иллюстрации этого утверждения достаточно рассмотреть простой пример прямолинейного движения частицы единичной массы в однородном поле Перемещение частицы за время t равно

Пусть в момент а в момент То, что интеграл где для действительного движения будет иметь минимум, можно легко доказать, если воспользоваться основным достаточным условием, известным из вариационного исчисления. Однако проще дать непосредственное доказательство. Сравним действительное движение, описываемое уравнением (26.3.1), с соседним движением, для которого

где Для этого варьированного движения имеем

Следовательно,

(так как Таким образом, если только не равно тождественно нулю. Движение (26.3.1) доставляет минимум интегралу по сравнению с его значениями для всех других движений с теми же концевыми точками в -пространстве и с теми же начальным и конечным моментами времени.

Рассмотрим теперь интеграл вдоль кривой в пространстве . В нашем случае и интеграл, который надлежит рассмотреть,

равен

и берется вдоль кривой в пространстве Запишем интеграл в форме

В действительном движении

В варьированном движении, для которого

где обращается в нуль при в эти моменты времени не обязательно равно нулю, имеем

Таким образом, если если и Интеграл при функции (26.3.7) имеет стационарное значение, но это значение не является ни максимумом, ни минимумом.