§ 20.7. Приложение к системе частного вида.

Затухающие гармонические колебания (§ 19.2), как известно, описываются уравнением

С ростом t амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону. Если уравнение (20.7.1) заменить эквивалентной системой двух уравнений первого порядка, то начало координат будет устойчивым фокусом (§ 19.4). Если, однако, в уравнении (20.7.1) считать к отрицательным то получим систему с отрицательным трением и колебания будут неограниченно возрастать по амплитуде. Начало координат для эквивалентной системы двух уравнений первого порядка будет неустойчивым фокусом.

Выбирая подходящим образом масштаб времени, можно, без потери общности, положить в уравнении

Заменим теперь в уравнении (20.7.1) постоянную к, положительную или отрицательную, некоторой функцией от которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения. В этом случае колебания будут то затухать, то, наоборот, возбуждаться. При этом может случиться, что движение будет периодическим при достаточно малых отклонениях от положения равновесия или будет стремиться к периодическому, при котором полная потеря энергии будет равна нулю. Первый из этих случаев мы имели в примере 19.10С. В качестве иллюстрации второго случая рассмотрим прямолинейное движение частицы, описываемое уравнением

в котором При трение приводит к затуханию колебаний, а при к нарастанию колебаний. Естественно ожидать, что система будет стремиться к режиму гармонических колебаний с амплитудой а, где и трение при этом будет равно нулю. То, что это предположение оправдывается, непосредственно следует из теории.

Соответствующие уравнения первого порядка имеют вид где

Радиальная составляющая поля равна

Рассмотрим кольцо где В точках внутренней окружности кольца поле направлено в наружную сторону, а в точках внешней окружности во внутреннюю сторону (за исключением, конечно, точек на линии ). Поэтому положительная полухарактеристика, начинающаяся в точке кольцевой области, либо является циклической (что имеет место, когда в начальный момент либо стремится к предельному циклу (§ 20.6, п. 2), которым является окружность

Значительно более важный пример доставляет уравнение Ван-дер-Поля

Когда происходит затухание; когда нарастание колебаний. Можно ожидать, что система будет стремиться к режиму периодических колебаний и обе эти противоположные тенденции в результате не окажут влияния. И действительно, в дальнейшем мы увидим, что эквивалентная система уравнений первого порядка обладает одним предельным циклом.

Рассмотрим вместо (20.7.5) уравнение более общего вида, а именно:

где причем четная функция и такая, что если то существует такое положительное число что при отрицательно, а при положительно и монотонно возрастает. (В частном случае уравнения (20.7.5) имеем

Рассмотрим уравнение

которое, по существу, эквивалентно уравнению (20.7.6). В самом деле, если z есть решение уравнения (20.7.7), то z есть решение уравнения (20.7.6). Кроме того, если х удовлетворяет уравнению (20.7.6), то функция

является решением уравнения (20.7.7). Для доказательства замечаем, что

и, следовательно,

что равно нулю, так как нечетная функция. Периодическому решению одного из уравнений (20.7.6) и (20.7.7) соответствует периодическое решение другого с тем же периодом.