§ 6.3. Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона.

В § 3.7 мы получили принцип Гамильтона в следующей форме:

Здесь обозначает перемещение из точки действительной траектории в точку варьированной траектории, соответствующую тому же моменту времени, так что

Вариация представляет собой виртуальное перемещение, которое произвольно, за исключением того условия, что каждая составляющая является функцией от t класса С, обращающейся в нуль в моменты Принцип Гамильтона выражает свойство механической системы, не зависящее от системы координат, используемой для описания этой системы. Попытаемся теперь выразить это свойство в лагранжевых координатах

Рассмотрим траекторию изображающей точки в пространстве и выразим принцип Гамильтона вместо переменных х в переменных Строим варьированный путь, выбирая в каждый момент времени виртуальное перемещение и получая точку на варьированной траектории, соответствующую этому моменту времени. Это виртуальное перемещение произвольно, за исключением того условия, что каждая вариация представляется функцией времени класса обращающейся в нуль в моменты Поскольку вариация синхронна,

Соотношения (6.3.1) и (6.3.2) эквивалентны. Это цочти очевидно, если связь между не содержит но это справедливо также и в общем случае, когда функции обладают свойствами, указанными в § 6.1. Доказательство проводится очень просто с помощью лемм

(6.1.3) и (6.1.4). Имеем

Если рассмотреть перемещение удовлетворяющее (6.3.2), то с учетом (6.1.3), (6.1.4) и (6.3.2) получим

Перемещение удовлетворяющее (6.3.2), удовлетворяет, таким образом, и (6.3.1), и обратно, поскольку между их существует взаимно однозначное соответствие, перемещение удовлетворяет (6.3.2), если оно удовлетворяет (6.3.1).

В принципе Гамильтона действительное движение системы сравнивается с варьированным движением при одних и тех же конфигурациях системы в начальный и конечный моменты времени и одинаковых самих этих моментах времени. Поэтому, если мы хотим выразить этот принцип с помощью лагранжевых координат то нужно потребовать, чтобы положение системы в начальный и конечный моменты и самые эти моменты оставались неизменными (хотя соотношения между содержат Принцип Гамильтона, таким образом, принимает следующую форму:

Мы увидим, что уравнение (6.3.4) приводит непосредственно к уравнениям Лагранжа. В самом деле, как уже отмечалось ранее, принцип Гамильтона по существу представляет собой интегральную форму основного уравнения. Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона осуществляется тем же путем, что и вывод этих уравнений непосредственно из основного уравнения.

Преобразуя первый член в левой части уравнения (6.3.4) и используя (6.3.2), находим

Поскольку каждая вариация в моменты обращается в нуль, уравнения (6.3.4) и (6.3.5) приводят к равенству

Если система голономна и то [уравнение (6.3.6) справедливо для произвольных значений (при условии, что Согласно известной лемме вариационного исчисления коэффициент при каждом в подынтегральной функции тождественно обращается в нуль, и мы получаем уравнения Лагранжа

Если система неголономна и то уравнение (6.3.6) справедливо лишь при условии, что вариации удовлетворяют уравнениям

Отсюда

К этим уравнениям присоединяются I уравнений связи

Как указывалось в §§ 3.8 и 5.11, если система неголономна, то варьированный путь в общем случае не удовлетворяет уравнениям связи.