§ 29.9. Устойчивость трех точек Лагранжа.

Вернемся к задаче, рассмотренной в § 29.7. Речь там шла об устойчивости равновесного решения в случае, когда частицы находятся в покое (относительно вращающихся осей) в вершинах равностороннего треугольника. Прежде всего заметим, что если возмущения выводят центр тяжести системы из состояния покоя, то нельзя рассчитывать на устойчивость, так как при этом система уходила бы все дальше и дальше от первоначального положения. Поэтому ограничимся рассмотрением лишь таких возмущений, при которых центр масс остается в покое. При таких возмущениях задачу можно свести к шестому порядку (§ 29.8); собственные значения соответствующей задачи первого приближения будут определяться как корни уравнения

где, как и в (29.7.22),

Таким образом, система будет устойчива по первому приближению, если корни уравнения

вещественны и отрицательны; последнее имеет место при

т. е. когда

Смысл неравенства (29.9.5) станет более ясным, если привести следующую геометрическую интерпретацию. Возьмем за декартовы координаты вспомогательного пространства. Условие (29.9.5) можно переписать так:

причем

Последнее уравнение определяет сферу радиуса а с центром в начале координат О, а уравнение

определяет плоскость , расстояние которой от точки О составляет три пятых ее расстояния от плоскости, параллельной и касательной к сфере. Неравенство (29.9.6) показывает, что точка лежит на той части сферы, которая расположена в положитель номоктанте и ограничена координатными плоскостями и плоскостью со. Указанная область на сфере состоит из трех отдельных частей, каждая из которых ограничена дугами двух больших кругов и малой окружностью вблизи точек соответственно, так что одна масса должна быть намного больше остальных. Если наибольшая из трех масс, то достаточным условием устойчивости будет

Если величины удовлетворяют неравенству (29.9.5), то решение для равностороннего треугольника Лагранжа будет устойчиво по первому приближению. Однако, как мы видели, это еще не означает устойчивости при переходе от линейного приближения к точным уравнениям движения.