§ 22.16. Интегралы уравнений движения.

Согласно теореме § 22.15 требуется, чтобы рассматриваемая инвариантная область была метрически неразложимой. Если уравнения движения допускают однозначный интеграл то область а будет инвариантной областью. Однако ясно, что она не будет метрически неразложимой, поскольку представляет объединение инвариантных областей где с — любое число, заключенное между Тем не менее существование такого интеграла позволяет перейти в теореме Лиувилля от интегрирования по -мерному пространству к интегрированию по -мерному пространству.

Рассмотрим в качестве примера автономную гамильтонову систему, для которой координата является циклической. При этом представляет собой интеграл и траектории располагаются в плоскостях Рассмотрим плоскость со, заданную уравнением Движение системы определяет преобразование точки плоскости со в точку той же плоскости (здесь положение изображающей точки в момент положение ее в момент . В результате область плоскости переходит в заданный момент t в область той же плоскости.

Это преобразование в -мерной плоскости сохраняет меру. Иными словами, теорема Лиувилля остается справедливой в -мерном пространстве. Для доказательства рассмотрим цилиндр с основанием ограниченный плоскостями Согласно теореме Лиувилля объем этого цилиндра является инвариантом, откуда следует, что

Возьмем более общий случай: пусть есть однозначный интеграл уравнений движения. Обозначим через элемент объема многообразия Тогда, повторяя те же рассуждения, что и раньше, убеждаемся, что интеграл

остается инвариантным при преобразованиях, определяемых движением. Наиболее важным является случай, когда есть функция Гамильтона

Тогда интеграл сам не является инвариантом, но существование инвариантного интеграла с положительной подынтегральной функцией может оказаться столь же полезным, как и существование объемной инвариантности в теореме Лиувилля.