§ 18.10. Малые колебания.

Применим теперь теорию квазипериодических движений к ряду конкретных динамических систем.

Рассмотрим сначала полностью разделимую систему, а именно колебательную систему, отнесенную к главным координатам Хотя этот пример и элементарен, однако он хорошо иллюстрирует полученные теоретические результаты.

Кинетическая и потенциальная энергии системы в этом случае выражаются формулами

Модифицированное уравнение в частных производных имеет вид

Полный интеграл равен где онеределяется из уравнения

причем

а остальных параметров выражаются формулами

Таким образом,

Следовательно,

Из формул (18.10.4) и (18.10.7) получаем

Таким образом, мы имеем особый случай, отмеченный в § 18.8. Частоты системы имеют значения

Чтобы найти явное соотношение между да и, воспользуемся способом, описанным в § 18.9. Имеем

и, следовательно,

где Функция выражается через угловые переменные следующим образом:

В рассматриваемом случае каждая координата зависит только от соответствующей переменной в общем случае это, разумеется, не имеет места.

С помощью соотношений (18.10.5) и (18.10.7) легко выразить I через а:

а также а через I:

Матрицы легко составить, исходя из определения элементов или по формулам (18.8.3), (18.8.4). Получаем

Значения переменных в некоторый момент I равны

а значения переменных равны