§ 18.16. Постоянные ...
Эти параметры с помощью формулы (18.12.8) можно выразить через 
а стало быть, через эллиптические элементы 
Найдем сначала
Интегрирование можно произвести различными способами. Используя эксцентрическую аномалию, получаем
и интеграл равняется
Выразив правую часть через а, найдем
Другой возможный способ мы приведем здесь в качестве иллюстрации приемов интегрирования, хотя в данном случае он особых преимуществ не имеет. Рассматривая 
как комплексную переменную, произведем интегрирование но контуру. Чтобы сделать подынтегральную функцию однозначной, произведем в плоскости разрез от 
до 
Непосредственно ниже разреза радикал будем считать положительным. Выражение (18.16.1) для 
можно трактовать как интеграл по простому замкнутому контуру С, охватывающему разрез (рис. 70):
Рис. 70.
Обозначим через 
окружность 
большого радиуса с центром в точке О, а через у — малую окружность с центром в той же точке; тогда подынтегральная функция будет регулярна в замкнутой области, ограниченной снаружи окружностью 
а изнутри — контуром С и окружностью у. Можем написать
Здесь интегралы берутся но контурам, проходимым в положительном направлении (против часовой стрелки). Имеем
Подынтегральная функция имеет простой нолюс в начале координат с вычетом 
, так что интеграл будет равен
Для интеграла по большой окружности получаем
Здесь мы перешли к новой переменной 
и обозначили через у малую окружность с центром в точке 
В начале координат подынтегральная функция имеет полюс второго порядка с вычетом 
, так что интеграл (18.16.9) равен
Окончательно получаем
что совпадает с полученным выше результатом. Далее, имеем
Применив подстановку
преобразуем этот интеграл к виду
Вводя эллиптические элементы, находим
Наконец,
Итак, имеем
Отсюда следует, что
и, следовательно,
Мы здесь имеем пример особого случая, который упоминался в § 18.8. Постоянная энергии 
зависит от единственной линейной формы от I, и вопрос о периодичности или непериодичности движения решается независимо от начальных условий. В самом деле, в рассматриваемом случае все частоты системы одинаковы и, поскольку 
движение всегда периодично. Общая величина частот равна
или
Мы, таким образом, пришли к результату, уже полученному нами в § 18.15.
Переменные 
можно выразить через величины, определяющие положение планеты. Для этой цели заменим в формулах (18.15.3) величину I на 
тогда получим
Эти формулы эквивалентны соотношениям, связывающим переменные 
они легко выводятся на основе теории, изложенной в § 18.9. Чтобы получить выражение для К, достаточно заменить параметры а в формулах (18.12.8) их значениями, выраженными через I:
Тогда формулы (18.16.21) непосредственно следуют из уравнений (18.9.6).
