§ 14.11. Приложения теории удара.

Рассмотрим теперь несколько конкретных примеров, иллюстрирующих изложенную выше теорию.

Пример Три однородных стержня массы каждый, шарнирно соединены в точках и располагаются по одной прямой на гладкой горизонтальной плоскости. Система приводится в движение ударом в точку А, совершаемым в этой плоскости под прямым углом к линии стержней. Требуется найти движение системы после удара и проиллюстрировать применение теорем Бертрана, Кельвина и Тейлора в том случае, когда конец цепочки из стержней закреплен неподвижно.

Рис. 45.

В случае отсутствия импульсивных связей можно пользоваться уравнением (14.9.6), функцию представим в виде

(см. рис. 45). Имеем

Отсюда

Сообщенная стержням энергия согласно (14.7.5) равна

Учитывая теперь уравнение связи получаем

Из условия находим

Отсюда

Сообщенная энергия равна

1) Если величина в обоих случаях одна и та же, то превышение энергии в первом случае по сравнению со вторым равно

или, если выразить через скорость точки А в первом случае,

2) Если в обоих случаях то уменьшение энергии в первом опыте по сравнению со вторым будет равно

Следовательно,

Пример 14.11В. Двенадцать одинаковых однородных стержней, массы каждый, шарнирно соединены своими концами друг с другом так, что образуют пространственную ферму. В начальный момент эта ферма имеет кубическую форму и находится в покое, причем одна вершина О куба закреплена. Система приводится в движение импульсом, приложенным к противоположной вершине составляющие этого импульса по направлениям ребер куба обозначим через Определить движение этой фермы после приложения импульса и вычислить сообщенную ей энергию.

Рис. 46.

Воспользуемся теоремой о суперпозиции (§ 14.6) и рассмотрим сначала влияние одной лишь составляющей Имеем (рис. 4.6)

Из условия, что находим

Для остальных составляющих получаем аналогичные выраженияз

Сообщенная энергия равна

Пример 14.11С. Ромб массы образованный четырьмя шарнирно соединенными одинаковыми стержнями длиной каждый, движется как твердое тело в направлении диагонали со скоростью и. Угол ромба при вершине А равен . Внезапно к точке А присоединяется частица массы первоначально находившаяся в покое. Доказать, что каждый стержень придет во вращение с угловой скоростью

а потерянная при этом кинетическая энергия будет равна где

Обозначим скорость центра тяжести фермы непосредственно после приложения импульса через Тогда кинетическая энергия системы запишется

в виде

Отсюда получаем

(Угловая скорость каждого стержня, а также скорость массы в момент по условию равны нулю.) Из условия (14.8.13), находим

Уравнение (14.11.19) выражает сохранение количества движения. Из уравнений (14.11.19), (14.11.20) получаем

Отсюда

По теореме Карно находим, что потеря кинетической энергии равна значению функции при соответствующих моменту

Пример Рассмотрим систему, кинетическая энергия которой, выраженная через содержит лишь квадратичные члены:

Предположим, что система приводится в движение импульсом и что при при Определим движение системы после приложения импульсов и сообщенную ей энергию. Затем рассмотрим ту же систему в случае, когда на нее наложены конечные связи, выражаемые уравнением

и сравним энергии 1) при одинаковых импульсах и 2) при одинаковых первых скоростях.

Хотя в данном примере рассматриваются конечные связи, наложенные на систему до момента приложения импульсов, однако результаты будут такие же, как в случае, когда импульсивная связь накладывается одновременно с импульсами (см. § 17.4, п. 4).

В случае отсутствия импульсивных связей

Поэтому, если приобретенная скорость системы равна то

Кинетическая энергия системы равна

Рассмотрим теперь систему, на которую наложена связь.

1) Если импульсы не изменяются, то

Параметр определяется из условия (14.11.25):

Сообщенная энергия в этом случае равна

где

2) Если система приводится в движение другой системой импульсов такой, что при и если импульсы таковы, что при то

Кинетическая энергия в этом случае равна

и так как

то

Отсюда определяем Я:

Таким образом,

где

Легко убедиться, что . В самом деле,

Пример . В заключение рассмотрим пример связи второго типа. Возьмем ферму, состоящую из четырех одинаковых стержней (пример 14.5), и предположим, что сначала она двигалась как твердое тело. Если угол обозначить через , то в момент будем иметь Пусть, далее, в момент величина внезапно получает значение можно предположить, например, что толчок производит насекомое (массой которого можно пренебречь), сидящее на раме в точке . В обозначениях примера 14.5 уравнения импульсивной связи запишутся в виде

Соотношение будет справедливо для вариаций, связанных условием

Уравнения (14.5.8) также соблюдаются. Учитывая уравнения (14.11.40), получаем

Окончательно находим

Выигрыш в энергии равен энергии приобретенных скоростей (§ 14.6, п. 3) что, впрочем, легко получить и непосредственно.

Рассмотренная задача в известном смысле является обратной по отношению к задаче, разобранной в примере 14.5. Там мы имели связь первого типа и величина 9 резко убывала от до нуля, здесь связь принадлежит ко второму типу и значение 9 резко увеличивается от нуля до