§ 22.14. Доказательство эргодической теоремы; второй этап.

Теперь нам остается доказать, что величина стремится к пределу и в том случае, когда растет до бесконечности, изменяясь непрерывным образом.

Для этого нам потребуется рассмотреть среднее значение функции на отрезке характеристики, проходимом изображающей точкой за время между моментами оно равно

Замечаем сразу, что

Докажем следующую лемму.

Лемма 6. Отношение при стремящемся к бесконечности, стремится к нулю почти для всех точек множества Пусть произвольное фиксированное положительное число, целое положительное число. Обозначим через множество точек для которых

и пусть о — множество точек характеризуемых неравенством

Преобразование определяющее перемещение изображающей точки за время переводит множество в множество так что

Докажем, что ряд

или, что то же, ряд

является сходящимся. Пусть целое положительное число. Если есть множество точек О, для которых

то справедливо очевидное равенство

Тогда ряд (22.14.7) можно переписать в форме

Поскольку область инвариантна, а преобразование сохраняет меру, последнее выражение равно

Но эта величина имеет конечное значение, так как функция суммируема в области Сходимость ряда (22.14.6), таким образом, доказана.

Отсюда следует, что все точки за исключением, быть может, точек множества меры нуль, принадлежат не более чем конечному числу множеств Поэтому почти для всех точек множества можно указать число такое, что для любого будет выполняться неравенство

Так как произвольно, то отсюда следует лемма 6. Теперь легко получить доказательство эргодической теоремы для случая, когда изменяясь непрерывным образом.

Пусть наибольшее целое число, не превышающее тогда когда Имеем

Следовательно,

Выражение справа, согласно лемме 6, стремится к нулю, когда Таким образом, разность

при стремится к нулю, откуда следует, что имеют один и тот же предел