§ 15.4. Теорема ...

Уравнение (15.1.4) допускает иное истолкование, отличающееся от данного выше. Будем судить о движении системы по движению изображающей точки в пространстве измерений с координатами Начнем с описания истинной траектории системы, т. е. траектории в пространстве, удовлетворяющей уравнениям движения. В каждый момент времени рассмотрим вариацию, соответствующую переходу от точки к тояке Варьированная траектория в общем случае не является истинной траекторией системы, т. е. не удовлетворяет уравнениям движения. Геометрически она, конечно, возможна, поскольку рассматриваемая система голономна. Вариации при этом произвольны и подчинены лишь одному условию, что каждая из вариаций есть функция от t класса Поскольку вариации синхронны, можем (опуская знак суммирования) написать

Тогда уравнение (15.1.4) примет вид

Скорость изменения скалярного произведения равна вариации обусловленной синхронным варьированием

Воспользуемся теперь уравнением (15.4.2) для вывода принципа Гамильтона. Правда, этот вывод, в отличие от приведенного в § 3.7, будет справедлив только для голономных консервативных систем. Имеем

где через обозначены величины в момент а через те же величины в момент Если в моменты вариация обращается в нуль, то

что и выражает принцип Гамильтона.

Уравнения (15.4.3), (15.4.4) можно записать еще в следующей форме:

причем исходный интеграл здесь берется вдоль дуги действительной траектории в -пространстве (т. е. вдоль пути, удовлетворяющего уравнениям движения), а варьированный интеграл — вдоль допустимого пути, построенного так, как указывалось выше. Как уже отмечалось, этот путь, вообще говоря, не является действительной траекторией.

Уравнение (15.4.2) справедливо для произвольного варьированного пути, требуется только, чтобы соответствующие точки исходного и нового путей относились к одному и тому же моменту времени и чтобы каждое при этом новый путь вовсе не обязан быть действительной траекторией.

Наложим теперь дальнейшее ограничение и потребуем, чтобы варьированный путь являлся действительной траекторией, соответствующей слегка изменившимся начальным условиям. Оператор будет теперь означать переход к точке на соседней действительной траектории, соответствующей тому же моменту времени.

Рассмотрим сначала случай, когда не содержит так что при заданных начальных значениях мы получаем одну и ту же траекторию независимо от начального момента времени, и положение на траектории зависит только от промежутка времени, прошедшего с момента старта. Обозначим теперь через вариацию, соответствующую переходу из одного положения на одной и той же траектории к другому после небольшого постоянного интервала времени Варьируемым путем будет при этом та же исходная траектория, но точки ее будут проходиться на секунд раньше, чем точки действительной траектории. При этих условиях

н из уравнения (15.4.2) получаем интеграл Якоби (§ 6 7):

Рассмотрим теперь траектории, начинающиеся в момент из точек замкнутой кривой -пространства. Скорости будем считать изменяющимися непрерывно при переходе от одной точки кривой к другой. Спустя время t изображающие точки составят другую замкнутую кривую у. Для двух соседних траекторий будем иметь

так что для замкнутой кривой у получим

Криволинейный интеграл сохраняет свое значение, когда кривая у движется описанным выше образом. Движению кривой в -пространстве соответствуют возможные движения механической системы. Этот результат имеет сходство с известными теоремами классической гидродинамики о сохранении циркуляции скорости.

Полученный результат интересен еще с одной точки зрения. Каждая точка простой замкнутой кривой фазового пространства (§ 15.2) является началом определенной траектории, выходящей из нее в момент Изображающие точки, взятые на этих траекториях в момент составляют замкнутую кривую полностью определяемую заданной кривой Значение криволинейного интеграла взятого по кривой остается постоянным.

Этот интеграл называют интегральным инвариантом уравнений, описывающих движение системы, в данном случае уравнений Гамильтона. Сказанное справедливо только для интегралов, взятых по замкнутой кривой; в этом смысле интегральный инвариант называют относительным. Речь идет об известном интегральном инварианте Пуанкаре. Существование этого интегрального инварианта выражает фундаментальное свойство гамильтоновых систем. В дальнейшем, при более детальном рассмотрении уравнений Гамильтона, мы дадим более подробный анализ этого, а также других интегральных инвариантов.