Глава XXIX. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ

§ 29.1. Классические интегралы.

Три частицы имеющие массы соответственно движутся в пространстве под действием сил взаимного притяжения. В момент заданы координаты и скорости частиц. Требуется определить положения частиц в любой момент времени.

Возьмем неподвижную систему прямоугольных осей и обозначим текущие координаты частиц через Координаты центра масс этих частиц обозначим через Тогда будем иметь

где есть масса системы

Положим

т. е. пусть будут координатами частиц относительно поступательно движущейся системы с началом в точке

Функцию кинетической энергии системы можно представить в одной из следующих форм:

где есть скорость частицы относительно частицы

При выводе формулы (29.1.6) мы воспользовались элементарным алгебраическим тождеством

Потенциальная энергия системы равна где

Здесь обозначает длину отрезка и

Аналогично определяются

Рассматриваемая система голономна и имеет девять степеней свободы. Для ее описания нужно девять уравнений Лагранжа или восемнадцать уравнений Гамильтона. Уравнения Лагранжа имеют вид

а уравнения Гамильтона —

где через обозначены составляющие импульса.

Существует десять классических интегралов уравнений Лагранжа и соответственно десять классических интегралов уравнений Гамильтона. Шесть из них выражают то, что центр масс движется равномерно и прямолинейно:

Условие постоянства момента количеств движения относительно начала координат дает еще три интеграла:

Их мржно переписать в следующей форме:

Последним классическим интегралом является интеграл энергии

Эти десять интегралов представлены нами в лагранжевой форме и выражены через координаты и скорости. Запишем теперь их в форме Гамильтона,

через координаты и импульсы:

Десять интегралов (29.1.18) уравнений Гамильтона независимы между собой и представляют алгебраические соотношения между координатами, импульсами и временем. Возникает вопрос: не существует ли других алгебраических интегралов, не зависящих от уже найденных? Ответ на этот вопрос дается замечательной теоремой, доказанной Брунсом в 1887 г. Оказывается, что новых алгебраических интегралов не существует: любой алгебраический интеграл уравнений Гамильтона для задачи трех тел представляет комбинацию десяти классических интегралов.

Поскольку центр масс движется равномерно и прямолинейно, мы можем перейти к ньютоновской системе отсчета с началом в точке Иначе говоря, можно без потери общности считать, что центр масс находится в покое. Именно это мы и будем постоянно предполагать в дальнейшем. Ориентацию осей можно выбрать так, чтобы ось была направлена вдоль вектора момента количеств движения; при этом две другие составляющие этого вектора будут равны нулю.