§ 28.8. Теория движения Луны.

Рассмотрим более подробно случай, когда планетоидом является спутник тела В, так что отношение остается малым в течение всего времени движения. Возьмем новые координаты с началом в точке В и положим

Функция Лагранжа (28.2.5) запишется в форме

где

В выражении (28.8.2) мы опустили постоянное слагаемое, а также слагаемое которое не оказывает влияния на движение (см. § 6.8).

Выражение (28.8.2) является точным. Примем теперь некоторые приближения, справедливые в случае, когда отношение остается малым в процессе движения. Кроме того, будем считать малым и отношение (Как уже отмечалось, если в точке А находится Солнце, а в точке В — Земля, то отношение составляет около 1/300 000. Для справедливости излагаемой ниже теории нужно еще допустить, что орбита Земли является круговой.) Рассмотрим слагаемые

входящие в выражение (28.8.2). Разлагая в ряд по степеням и отбрасывая члены порядка получаем

Произведем дальнейшие упрощения в полученной формуле. Прежде всего, слагаемое, пропорциональное можно отбросить, как пренебрежимо малое по сравнению со слагаемым, пропорциональным поскольку отношение мало, а отношение в течение всего времени также остается малым. Оставшийся член можно записать в виде

и с достаточной для нас степенью точности коэффициент можно принять равным единице. В результате выражение приближенно будет равно и функция Лагранжа будет иметь вид

Отличие от ньютоновской задачи состоит в присутствии слагаемых Уравнения движения, соответствующие функции (28.8.7), имеют вид

Интеграл Якоби принимает форму

Теперь мы имеем лишь два положения равновесия: и . Эти точки находятся на прямой и имеют координаты

Далее имеем

и можем написать

Уравнения движения можно представить в эквивалентной форме, при которой мы не будем иметь особенности в точке Умножая уравнения (28.8.8) соответственно на и вычитая, получаем

Умножая же эти уравнения соответственно на и складывая, находим

Наиболее важным приложением является случай, когда в точке А находится Солнце, в точке В — Земля, а планетоидом является Луна. При этом можно считать, что орбита Земли при ее движении вокруг Солнца достаточно близка к круговой и что масса Луны пренебрежимо мала. Уравнения (28.8.8) являются уравнениями Хилла; они чрезвычайно важны для исследования движения Луны. Ввиду недостатка места мы не можем дать здесь подробного изложения основных результатов. Отметим только, что основная цель астронома заключается в отыскании периодических движений. Периодическое движение с периодом а можно представить в форме рядов

где новая переменная Подстановка этих рядов в уравнения (28.8.8) или (28.8.12), (28.8.13) дает возможность определить (зависящие от о) коэффициенты