§ 20.4. Отрезок без контакта, проходящий через точку множества A.

Пусть С — положительная полухарактеристика, для которой предельное множество не сводится к одной особой точке. Обозначим через I обыкновенную точку множества а через отрезок без контакта, проходящий через Всякому заданному положительному числу соответствует положительное такое, что если траектория начинается при из точки, удаленной от I меньше чем на то эта траектория пересекает отрезок в некоторый момент времени, заключенный в интервале (§ 20.3, п. 3). Далее, каково бы ни было произвольно большое число существует еще большее число t такое, что

Следовательно, за промежуток времени кривая С должна пересекать отрезок Таким образом, существует бесконечное множество значений для которых точки лежат на отрезке За конечный отрезок времени происходит конечное число пересечений, поэтому моменты пересечения можно перенумеровать так, чтобы

При этом стремится к бесконечности вместе с Обозначим точку на отрезке через Имеются две возможности. 1) Если точка совпадает с то траектория С является циклической и все точки совпадают. 2) Если точки различаются, то точка отличается от и точка располагается между точками Здесь необходимо обратиться к теореме Жордана. Рассмотрим простую замкнутую кривую составленную из дуги траектории С и отрезка прямой Если изображающая точка попадает внутрь области, ограниченной кривой то она там и остается, поскольку она не может пересечь ни дугу траектории С, ни прямолинейный отрезок Поэтому точка лежит между точками (рис. 91, а). Аналогично, если изображающая точка оказывается вне области, ограниченной кривой то она там и остается, и опять-таки точка лежит между точками и (рис.

Таким образом, точки на отрезке либо все совпадают, либо все различны; в последнем случае они образуют монотонную последовательность. Эта последовательность, будучи монотонной и ограниченной,

имеет предел, который принадлежит множеству следовательно, может быть только точкой В силу единственности предельной точки других точек множества отличных от I, на отрезке быть не может.

Результаты, изложенные выше, можно сформулировать в виде следующей теоремы. Пусть I — обыкновенная точка множества которое является положительным предельным множеством траектории отрезок без контакта, проходящий через точку

Рис. 91.

Тогда, во-первых, на отрезке нет точек множества отличных от I, и, во-вторых, траектория С является циклической тогда и только тогда, когда она пересекает отрезок лишь в одной точке.