§ 26.2. Теорема Ливенса.
В этом параграфе мы будем рассматривать только голопомные системы. В § 6.3 мы вывели уравнения Лагранжа из принципа Гамильтона. Естественно попытаться вывести аналогичным путем уравнения Гамильтона; такая попытка приводит к весьма интересным результатам. Однако при таком выводе требуется известная осторожность, поскольку вариации величин 
нельзя считать независимыми. В самом деле, если вариация 
задана в каждый момент времени, то вариация со определяется уравнениями
Чтобы преодолеть это затруднение, обратимся вновь к правилу множителей.
Будем характеризовать движение системы перемещением изображающей точки в 
-мерном пространстве 
Из условия (26.1.2) следует, что интеграл 
принимает стационарное значение в семействе кривых, удовлетворяющих 
дифференциальным уравнениям
В концевых точках значения переменных 
и независимой переменной t фиксированы, а значения со остаются свободными. Поскольку мы рассматриваем лишь такие кривые, которые удовлетворяют уравнениям (26.2.2), а вариации синхронны, можно утверждать, что условия (26.2.1) наверняка удовлетворяются.
Согласно правилу множителей интеграл 
(где знак 2 обозначает суммирование от 1 до 
принимает стационарное значение при произвольных вариациях переменных 
и со; при этом функции 
подлежат определению. Условия стационарности записываются в форме 
уравнений
к которым следует присоединить 
уравнений (26.2.2). Разумеется, из этих уравнений можно сразу получить уравнения Лагранжа. Но для нас сейчас важно другое, а именно: 
принимает стационарное значение по отношению к произвольным вариациям пути в пространстве 
Но такие вариации эквивалентны произвольным вариациям переменных 
выражая результат через понятия фазового пространства, можем сформулировать следующую теорему: интеграл
принимает стационарное значение при произвольной вариации переменных 
. В этом состоит теорема Ливенса 
Символом 
под знаком интеграла обозначена функция
записанная в переменных 
Для этого уравнения
нужно разрешить относительно 
(см. § 10.13). Время и переменные 
фиксированы в концевых точках, а переменные 
свободны. Таким образом,
мы имеем задачу в пространстве переменных 
со свободными концевыми точками. Но условия на концах не вносят ничего нового, поскольку подынтегральная функция не содержит 
Уравнения Эйлера — Лагранжа, выражающие необходимые условия стационарности функционала (26.2.6), представляют собой не что иное, как уравнения Гамильтона
