§ 4.3. Принцип Гаусса наименьшего принуждения.

Пусть заданы конфигурация и скорость системы в момент времени t. Напишем выражение

зависящее от и будем рассматривать те значения которые возможны при заданных конфигурации и скорости системы. Принцип Гаусса утверждает, что в этом классе значений выражение С для истинного ускорения минимально. Иными словами, для истинного ускорения выражение С принимает меньшее значение, чем для любого другого возможного ускорения.

Эта теорема была открыта Гауссом в 1829 г. Доказательство ее очень просто. Пусть истинное ускорение, а любое другое возможное ускорение. Пользуясь сокращенными обозначениями, можем написать

Последняя сумма в силу (4.2.4) обращается в нуль. Таким образом,

если только отлично от нуля.

Уравнения движения заданной системы получаются как следствие более слабого условия, а именно условия стационарности С для истинного движения. Чтобы получить эти уравнения, достаточно ваписать равенство

Отметим, что в принципе Гаусса мы имеем дело с простой алгебраической задачей о минимизации квадратичной формы. Осуществляя эту минимизацию, мы получаем дифференциальные уравнения движения.