§ 19.4. Движение в окрестности особой точки. Линейное приближение.

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

§ 19.4. Движение в окрестности особой точки. Линейное приближение.

Возьмем начало координат в особой точке. Производя разложение в окрестности особой точки мало), будем иметь

причем и величины стремятся к нулю вместе с (В простых случаях имеют порядок Естественно ожидать, что линейное приближение (т. е. приближение, определяемое одними только линейными членами, без учета членов, содержащих даст нам возможность судить о поведении движения и в общем случае. Поэтому начнем с рассмотрения более простой задачи, когда уравнения имеют вид

или, в матричной записи,

Здесь х обозначает матрицу-столбец а -неособенную матрицу

Как мы увидим, результаты исследования существенно зависят от собственных значений матрицы А, определяемых как корни уравнения

или, что то же,

Если произвести линейное преобразование

где С — неособенная матрица, а и есть вектор (матрица-столбец) то уравнение (19.4.3) перейдет в следующее:

где через В обозначена матрица Матрицу С можно выбрать так, чтобы матрица В имела простой вид — так называемую нормальную форму Жордана. Этот выбор производится следующим образом.

a) Если корни вещественны и различны, то существует вещественное линейное преобразование такое, что матрица В принимает вид

(вспомним преобразование к нормальным координатам в теории малых колебаний, см. § 9.2).

b) Если корни вещественны и одинаковы, то существует вещественное линейное преобразование такое, что матрица В принимает форму

или форму

Если корни комплексны и существует комплексное линейное преобразование такое, что матрица В принимает форму

Последнее эквивалентно утверждению, что с помощью надлежащего вещественного линейного преобразования можно привести матрицу В к виду

Рассмотрим характер движения в различных случаях. 1) Собственные значения вещественны и одного знака. Рассмотрим отдельно случай, когда они различны и случай, когда одинаковы.

1а) Собственные значения вещественны, не равны друг другу и имеют одинаковые знаки. Для определенности предположим, что собственные значения отрицательны, т. е. Преобразованная система имеет вид

Решение можно представить в форме

где

Малым значениям соответствует малые значения и если то и так что расстояние изображающей

точки от начала координат стремится к нулю. В таких случаях мы будем говорить, что траектория стремится к точке О. Далее, направление касательной к траектории при стремится к некоторому предельному направлению; мы будем говорить, что при этом траектория входит в точку О. Чтобы доказать, что касательная к траектории стремится занять предельное направление, рассмотрим отношение

Если то оно стремится либо к либо к . Таким образом, траектория входит в точку О вдоль положительного или отрицательного направления оси Если то траектория представляет собой отрезок оси и между Таким образом, вдоль оси и в точку О входят две траектории (или, точнее, две системы полутраекторий, поскольку изображающая точка движется к точке О вдоль положительного направления оси и при всех положительных значениях а не только при каком-нибудь одном значении). Мы имеем здесь случай, описанный выше, в § 19.1. Траектория входит в точку О, но сама эта точка не принадлежит траектории, а является лишь предельной точкой.

Рис. 75.

Таким образом, если то все положительные полухарактеристики входят в точку О, из них две (или, точнее, две системы) входят в эту точку вдоль оси а остальные вдоль оси (рис. 75). (Если перейти к первоначальным переменным направления, по которым кривые входят в точку О, уже не будут составлять прямого угла.) Особенность такого типа называют устойчивым узлом. Если мы имеем неустойчивый узел; в этом случае в точку О входят отрицательные полухарактеристики.

lb) Собственные значения вещественны и равны друг другу, и матрица

имеет нулевой ранг. В этом случае Уравнения имеют вид

и если например то решением будет

Траекториями являются прямые

и все положительные полухарактеристики входят в точку О. Эта точка снова оказывается устойчивым узлом, но на этот раз, в отличие от случая 1а), положительные полухарактеристики входят в точку О по всевозможным направлениям (рис. 76). Если то получаем неустойчивый узел. Особенность этого типа редко встречается в практических задачах.

1с) Собственные значения вещественны и равны друг другу, и ранг матрицы

равен единице. Матрицу можно привести к виду

Уравнения запишутся следующим образом:

Если например то решение будет иметь вид

и положительные полухарактеристики будут стремиться к точке О.

Рис. 76.

Рис. 77.

Если то траектория является частью оси и. Если то отношение

стремится к нулю, когда и положительная полухарактеристика входит в точку О вдоль оси Мы снова имеем устойчивый узел, и все полухарактеристики входят в точку О по направлению оси и (рис. 77). Если то получаем неустойчивый узел.

Итак, можно утверждать, что если собственные значения вещественны и отрицательны, то особая точка является устойчивым узлом, если же эти значения вещественны и положительны, то особая точка является неустойчивым узлом.

2) Собственные значения вещественны и различны по знаку, скажем, Уравнения имеют вид

Решением будет

К точке О подходят лишь положительные полухарактеристики, для которых Остальные траектории представляют собой кривые типа

гипербол (точные гиперболы получаются при а также ось изображающая точка движется по этим кривым в бесконечность (рис. 78). Особенность этого типа называется седловой точкой или седлом.

Рис. 78,

Рис. 79.

3) Собственные значения являются комплексно-сопряженными (равны а 0). Вещественное линейное преобразование в этом случае приводит к уравнениям

или, в более компактной форме,

где Решение имеет вид

причем вещественны, Переходя от декартовых координат к полярным получаем

Если то при ; при этом траектории стремятся к точке О, но не входят в нее. Кривые имеют форму спиралей (логарифмических спиралей, если координаты прямоугольные), закручивающихся около точки О в положительном направлении, если (рис. 79).

Особенность этого типа называется спиральной точкой или фокусом. Фокус устойчив, если Если то получаем неустойчивый фокус; в этом случае к точке О приближаются отрицательные полухарактеристики; при

Пример Классический пример устойчивого фокуса мы имеем в случае затухающих колебаний. Эта задача нами уже рассматривалась в § 19.2, здесь мы вкратце повторим решение с целью проиллюстрировать выводы общей теории. Уравнения движения имеют вид

Собственные значения равны где Вводя новые переменные

перепишем уравнения в форме

В полярных координатах имеем

Решение имеет вид

Мы приняли, что при Таким образом,

Следовательно,

где Мы получили формулы (19.2.15), (19.2.16); траектория в плоскости показана на рис. 73.

4) Собственные значения чисто мнимы (равны Этот случай мы получаем из предыдущего при Уравнения имеют вид

Решением будет

В плоскости траектории представляют собой окружности, а в плоскости эллипсы. Мы имеем здесь исключительный случай, когда все траектории являются замкнутыми и, следовательно, все орбиты периодические. Особенность такого типа называется вихревой точкой или центром.