§ 27.10. Однородное поле.
Перейдем теперь к задаче, упоминавшейся в конце § 27.6. Определим характеристическую функцию и, следовательно, уравнение поверхностей равного действия для задачи о плоском движении частицы единичной массы в однородном поле сил. Пространство конфигураций для этого случая есть не что иное, как обычная евклидова плоскость, в которой движется частица. Направим ось 
вдоль поля, а за поверхность нулевой энергии возьмем ось 
тогда будем иметь 
Обозначая через 
составляющие начальной скорости в точке 
можем написать
Отсюда получаем
или
где мы положили 
Далее,
и, исключая 
и 
из правой части (27.10.3), представляем К как функцию от 
:
где через 
обозначена сумма 
Выражая 
через 
получаем
что можно представить в форме
где
На рис. 109 парабола 
представляет огибающую 
вещественным положительным значениям 
соответствует условие 
. Действительно, разрешая уравнение (27.10.7) относительно 
, получаем
откуда при 
находим два значения 0:
при этом 
Таким образом,
и следовательно,
Двузначный ответ не является неожиданным (см. § 27.6). Если, например, положить 
так что 
то одно из значений
К обратится в нуль, а другое будет равно 
Первому из этих значений отвечает отсутствие движения, а второму — прямолинейное движение, при котором частица в начальный момент движется навстречу полю.
Рис. 109.
Рис. 110.
Поверхностями равного действия относительно точки 
будут кривые, определяемые уравнениями
Согласно первой части теоремы Кельвина эти кривые ортогональны семейству траекторий (рис. 110). Нижний знак при этом соответствует точке пересечения с траекторией до момента соприкосновения ее с огибающей, а верхний знак — точке пересечения после соприкосновения с огибающей. Кривые равного действия имеют точки заострения, расположенные на огибающей параболе.
