§ 22.5. Линейный интегральный инвариант Пуанкаре.

В этом параграфе мы докажем известную теорему Пуанкаре: линейный интеграл представляет собой относительный интегральный инвариант уравнений Гамильтона. Доказательство можно провести либо основываясь на общих рассуждениях § 21.5, либо непосредственно. Пользуясь обозначениями § 21.5 и вводя обозначение для разности — напишем следующее соотношение:

Отсюда

так что форма Пфаффа представляет собой полный дифференциал — Теорема вытекает из § 21.5. Непосредственное доказательство также

весьма простое; оно проводится либо путем введения параметра и на замкнутой кривой у (как в (21.5.7)), либо путем рассмотрения линейного элемента (как в (21.6.14)). Следуя первому способу и опуская знак суммирования, находим

Дифференцируя по получаем

Из относительного интегрального инварианта Пуанкаре можно получить абсолютный интегральный инвариант второго порядка:

Это следует непосредственно из теоремы Стокса. Интеграл (22.5.5) берется по площади одной стороны двусторонней поверхности, движущейся вместе с жидкостью.

Справедлива и обратная теорема Пуанкаре. Именно, если существует относительный интегральный инвариант то переменных удовлетворяют уравнениям, имеющим гамильтонову форму. Для доказательства введем, как и выше, параметр . Тогда будем иметь

Последний член в подынтегральном выражении справа дает нуль, так как интегрирование производится по замкнутой кривой. Из условия (отбрасывая параметр и) получаем равенство

которое выполняется в любой момент вдоль любой замкнутой. кривой.

Отсюда следует, что выражение представляет собой полный пространственный дифференциал — где Таким образом, во время движения величины изменяются так, что

что и требовалось доказать.

Полученный результат показывает, что любая система дифференциальных уравнений вида

для которой существует линейный интегральный инвариант, может быть полностью или частично приведена к гамильтоновой форме. Это утверждение тесно связано с теоремой Пфаффа о линейной дифференциальной форме. Предположим, что система имеет относительный линейный интегральный инвариант где со обозначает форму Пфаффа

причем каждая из функций принадлежит к классу По теореме Пфаффа форму со путем надлежащего выбора переменных можно привести к одному из следующих видов:

или

в зависимости от того, является ли класс формы четным или нечетным Если форма неособенная, то ее класс равен если форма особенная, то ее класс меньше

Перейдем теперь от переменных к новым переменным если четное или к переменным если нечетное Тогда будет относительным интегральным инвариантом для преобразованных уравнений, и в новых переменных дифференциальных уравнений могут быть записаны в гамильтоновой форме.