§ 23.2. Решение уравнений в вариациях.

В этом параграфе мы получим решение уравнений в вариациях (23.1.6), удовлетворяющее в момент заданному начальному условию Воспользуемся методом последовательных приближений.

Рассмотрим матрицу заданную рядом

в котором первое слагаемое равно

а последующие слагаемые определяются по правилу

причем

(матрица получается из матрицы дифференцированием каждого элемента).

Отсюда следует, что

и

удовлетворяет системе (23.1.6) и в момент имеет значение так что искомым решением будет

Как и следовало ожидать, линейным образом зависит от . (Матрица фактически есть матрица встречавшаяся нам в § 23.1.)

Элементы матрицы представляются в форме бесконечных рядов, в связи с чем возникает вопрос о сходимости. Рассмотрим интервал и определим число К таким образом, чтобы для всех элементов матрицы А

выполнялось неравенство

во всем интервале Обозначая через типичный элемент матрицы напишем следующие очевидные равенства:

Отсюда получаем оценку

справедливую в интервале Аналогично

и

Продолжая рассуждения, находим, что в интервале

Отсюда следует, что ряды для элементов матрицы мажорируются экспоненциальными рядами с постоянными членами и, следовательно, равномерно сходятся в интервале

Отметим некоторые свойства определителя Якоби

(Для краткости мы здесь через обозначили ) Как и в § 21.7, имеем

откуда

(Эту формулу можно вывести непосредственно из (23.2.6), не ссылаясь на результаты § 21.7.) Функцию можно рассматривать как дивергенцию А векторного поля в момент t в невозмущенном движении. Если для системы величина А тождественно равна нулю (как это имеет место, например, для системы Гамильтона), то в течение всего времени (см. § 22.6).

В частном случае, когда элементы матрицы А постоянны, имеем

и

Решение (23.2.7) в этом случае (т. е. когда элементы матрицы А постоянны) принимает вид

уже знакомый нам из § 21.10.

Рассмотрим два простых конкретных примера приложения решения (23.2.7), в частности решения (23.2.19), уравнений в вариациях.

Пример 23.2А. Гармонический осциллятор. Выше уже отмечалось, что в задаче о малых колебаниях элементы матрицы А постоянны. В частном случае системы с одной степенью свободы уравнения имеют вид

и матрица А имеет форму

Следовательно,

Таким образом

Решение имеет вид

Решение становится еще более простым, если матрицу привести к диагональной форме, введя новые переменные Как уже отмечалось в § 21.10, степенные ряды (23.2.23) были получены нами в § 21.4 другим методом.

Пример Ньютоновская орбита. Имеем

Уравнения движения имеют вид

Величины играют здесь роль переменных матрица А имеет форму

где постоянное значение в невозмущенном движении, значение в момент t в невозмущенном движении. Если невозмущенная орбита представляет собой эллипс с периодом то элементы матрицы А являются известными периодическими функциями от t с периодом а.

Рассмотрим, в частности, случай, когда невозмущенная орбита представляет собой окружность радиуса а; пусть она описывается телом, совершающим вращение с угловой скоростью Движение в этом случае является установившимся, и элементы матрицы А сохраняют постоянные значения:

Уравнения в вариациях имеют вид

Решением этих уравнений будет

Заметим, что величины остаются малыми вместе с в течение всего времени, а когда (исключая случай, когда важном частном случае, когда , решение имеет вид