§ 13.9. Качение монеты (тонкого диска).

Система, рассмотренная в § 13.8, была голономна, а, как уже отмечалось, преимущества уравнений Гиббса — Аппеля проявляются наиболее ярко в неголономных системах. В этом параграфе мы рассмотрим задачу о качении диска или обода по шероховатой горизонтальной плоскости. Эта задача исследовалась нами с помощью метода Лагранжа в § 8.12. Если обозначить через и скорость центра тяжести диска, а через его ускорение, то, пользуясь обозначениями рис. 22, можно написать

и

Здесь Таким образом, получаем следующее выражение для функции Гиббса:

Работа силы тяжести в единицу времени равна так что уравнения движения записываются в виде

(здесь ).

Если теперь полярные углы оси относительно неподвижных прямоугольных осей (рис. 22) обозначить через то будем иметь

(Напомним, что действительно, Подставляя эти значения в уравнения (13.9.4), получаем

Полученные уравнения эквивалентны уравнениям (8.12.17) — (8.12.19), найденным ранее с помощью метода Лагранжа. Одно из приложений этих уравнений мы уже рассмотрели. В качестве второго примера определим условие устойчивости (по первому приближению) диска или обода, катящегося по прямой. При качении окружности по оси с постоянной скоростью имеем Рассмотрим малое возмущение и напишем соответствующие уравнения первого приближения. Из уравнения (13.9.8)

видно, что величина остается постоянной; можно считать, что она сохраняет значение невозмущенного движения. Полагая и сохраняя лишь члены первого порядка относительно находим

где Из уравнения (13.9.10) следует, что

Подставляя выражение для из (13.9.11) в (13.9.9), получаем

Устойчивость по первому приближению будет обеспечиваться, если

Для диска будем иметь , а для обруча . Для монеты достоинством в 1 пенни (радиус которой равен 19/32 дюйма) критическая скорость составляет около