§ 8.9. Вращающийся волчок; исследование движения.

Возвратимся к задаче о движении волчка, рассмотренной в § 8.6. Угол, который ось волчка составляет с вертикалью, и величина определяются уравнениями

где Рассмотрим полином третьей степени Имеем

Если при некотором z в интервале то функция имеет три действительных корня таких, что

(рис.

Возьмем точку на оси волчка, находящуюся На единичном расстоянии от острия движение ее происходит в сферическом поясе единичной сферы, ограниченном окружностями Если совпадают, то движение является установившимся и точка равномерно движется по окружности на единичной сфере. Выясним, какие установившиеся движения возможны при , если — острый угол. Обозначим значение в установившемся движепии через Уравнение (8.6.6) показывает, что является корнем квадратного уравнения

Рис. 19.

Это уравнение имеет два действительных полонсительных корня если Мы примем, что так что условие а будет удовлетворяться при всех а. Условие удовлетворяется в подавляющем большинстве случаев, представляющих практический интерес, так как в этих случаях параметр велик. (Если величина малая, то меньший корень приближенно равен а больший корень равен Эти величины выходят за область, определяемую действительными значениями: меньше, чем а больше, чем

Не входя в детали, можно общий характер движения в области сферического пояса (в предположении, что представить следующим образом. Пусть в начальный момент точка перемещается в горизонтальной плоскости по касательной к окружности где Тогда в начальный момент следовательно,

Далее.

и начальное значение z равно

Мы получаем, что в начальный момент если лежит между значениями равными значениям в установившихся движениях при Если лежит между то а соответствует нижней из двух граничных окружностей, т. е. Заметим, что положительны.

Рассмотрим, как изменяется движение при возрастании от до Рассмотрим последовательность движений, когда нижняя окружность а фиксирована и угол а острый, так что Основной вопрос заключается в том, обращается ли величина в нуль и меняет ли она знак в процессе движения. Соотношение (8.6.10) показывает, что знак совпадает со знаком Поэтому, если то не может обратиться в нуль. Если же 1) лежит между то обращается в нуль во

время движения. Далее,

так что условие 1) эквивалентно неравенству

Условие 2) удовлетворяется, если т. е. если поскольку , задаются выражениями (8.9.5), (8.9.6), это условие эквивалентно неравенству

Отметим теперь на рис. 20 точки на оси соответствующие этим критическим значениям: это — точка В, где и точка С, где Каждое из этих значений лежит менаду второе из них больше первого, поскольку (как легко проверить) значения отрицательны и

Рис. 20.

Поэтому, если график пересекает ось в точке А (где и в точке то точки располагаются в указанном на рисунке порядке.

Представим значение для рассматриваемого движения изображающей точкой занимающей все положения на отрезке Когда занимает положения А или (т. е. принимает значения или тогда совпадает с и точка движется по горизонтальной окружности. Когда же точка занимает положение В, тогда

и

Этот случай является критическим, и обращается в нуль при Полином третьего порядка имеет вид

Траектория точки имеет точки заострения на верхней окружности. Это почти очевидно, поскольку при точка находится в покое. Если волчок начинает свое движение из состояния, в котором его ось находится в покое при то ось начинает удаляться от вертикали. Формально это следует из такого рассмотрения: пусть траектория точки пересекает меридиан под углом х, тогда

В общем случае в нуле функции угол Но если (как это имеет место в рассматриваемом случае) нуль совпадает с то в этой точке и траектория точки имеет точки заострения на линии Если точка занимает положение С, то

и

В этом случае и точка проходит во время движения наивысшую точку единичной сферы. Отметим, что в процессе движения не обращается в нуль. В самом деле,

Теперь можно представить, как изменяется движение оси волчка или, что то же, точки на единичной сфере, когда возрастает от до

Рис. 21.

При перемещении точки из положения А в положение С (рис. 20) увеличивается от до 1, проходя через критическое значение когда проходит через положение при дальнейшем перемещении точки из положения убывает от 1 до Для значений , лежащих в области меняет знак в процессе движения и траектория точки делает петли. Рисунок иллюстрирует изменение характера движения при возрастании от до Рис. 21,а соответствует случаю, когда точка лежит между а траектория точки проходит между двумя окружностями на единичной сфере, касаясь их поочередно. Рис. соответствует случаю, когда точка занимает положение траектория имеет точки заострения; движение этого рода имеет место тогда, когда ось волчка начинает движение из состояния покоя при Рис. 21, с отвечает случаю, когда лежит между траектория, как показано, делает петли. Когда точка занимает положение С, точка проходит через наивысшее положение на единичной сфере. Если же лежит между то мы снова приходим к движению в сферическом поясе, при котором остается положительной (рис. 21, d).