§ 18.11. Сферический маятник.

Рассмотрим вновь задачу о сферическом маятнике (§ 5.3), на этот раз с точки зрения теории квазипериодических движений. Движение носит характер либрации по каждой координате. Если в качестве одной из координат взять азимутальный угол то мы будем иметь особый случай. В самом деле, в этом случае координата не колеблется между двумя предельными значениями, а все время возрастает. Однако если ввести координату то будем иметь колебания между пределами и —1.

Практически нет необходимости полностью отказаться от использования монотонно изменяющейся переменной но нельзя при этом упускать из виду, что требуется внести несущественное изменение в общую теорию. Имеем (см. § 5.3)

Угол отсчитывается здесь от вертикали, направленной вверх. Полагая, как и ранее, и вводя безразмерное время можем написать (опуская положительный множитель)

(штрихом здесь обозначено дифференцирование по

Таким образом, система имеет стандартную форму (17.2.13) разделимой системы с двумя степенями свободы, и если за координаты х, у принять то будем иметь

Таким образом,

и

Интегралы уравнений движения Лагранжа будут иметь вид

Поскольку мы имеем либрацию, выбор знака радикала производится обычным образом: когда z возрастает, берется положительный знак, а когда z убывает — отрицательный. Координата как мы видели, непрерывно возрастает, поэтому удобней перейти к новой переменной Обозначим интегралы, содержащие через А и В:

или, точнее,

При колебании между пределами эти функции непрерывно возрастают. Они многозначны (см. § 18.5), так что значение А (или В) зависит не только от величины z, но и от числа совершенных колебаний, а также от того, возрастает ли переменная z или убывает. Имеем

Вычислим элементы матрицы

Следовательно,

Периодическое движение имеет место при условии, что отношение есть число рациональное, и это согласуется с (5.3.13) соответствующие и выражаются формулами

Интересно проверить формулу непосредственным вычислением. Соотношение между можно записать в виде

Дифференцируя это равенство по и по находим

откуда получаем (18.11.10).

Найдем теперь явные выражения для угловых переменных. Уравнения (18.6.1) имеют вид

Отсюда следует, что

Как и следовало ожидать, эти формулы показывают, что когда проходит цикл своих значений, в то время как остальные остаются без изменения, увеличивается на единицу. Следует иметь в виду, что сказать, что проходит цикл своих значений, — это то же самое, что сказать, что возрастает на

Соотношения между можно получить также по способу, описанному в § 18.9. Имеем

где

а через обозначено выраженное через и с помощью соотношения (18.11.12). Легко убедиться в том, что уравнения вновь приводят нас к формулам (18.11.15).

Наконец, если положить

(см. (5.2.40)) и при считать то будем иметь

С помощью формул (18.11.15) получаем, что так как находим, что