§ 7.6. Формула поворота.

Вернемся теперь к случаю, когда тело имеет неподвижную точку О, и рассмотрим перемещение такого тела. Мы видели, что перемещение в этом случае можно представить как поворот на угол а около оси Фиксированная точка тела переходит при этом из своего первоначального положения в конечное положение Предположим, что ось и угол поворота а известны. Возьмем точку тела с начальным положением и найдем ее положение после поворота.

Обозначим вектор через а вектор через векторы играют ту же роль, что и матрицы-столбцы в § 7.3. Пусть будет

единичным вектором вдоль оси вращения Установим формулу поворота

Здесь Пользуясь вектором поворота введенным в § 7.3, запишем формулу поворота в следующем виде:

где

Формулу поворота можно вывести многими способами. Ниже мы проведем доказательство тремя различными способами. 1) Будем исходить из уравнения (7.3.15):

Разрешим это уравнение относительно Для этого умножим левую и правую части уравнения векторно на Проделав это, будем иметь

Рис. 13.

При этом мы использовали соотношение

Складывая (7.3.15) и (7.6.3), получаем

что эквивалентно (7.6.2).

2) Получим теперь формулу поворота непосредственно из геометрических соображений. Пусть будет основанием перпендикуляра из точки на прямую основанием перпендикуляра, проведенного из точки на прямую (рис. 13). Прямая перпендикулярна к плоскости и

где единичный вектор в направлении Теперь имеем

и окончательно

что и требовалось доказать.

3) Формулу поворота можно получить, вводя новые оси таким образом, чтобы ось была осью вращения. Докажем сначала лемму, которая нам часто будет нужна в дальнейшем.

Лемма. Если триэдр поворачивается на угол а около оси то матрица направляющих косинусов в новом положении, обозначаемая

через дается уравнением

где ортогональная матрица:

Заметим, что направляющие косинусы прямой равны координатам точки этой прямой, находящейся на единичном расстоянии от точки О. Из равенства следует, что следовательно,

Формула (7.6.5) получается отсюда транспонированием.

Теперь, пользуясь леммой, выведем формулу поворота. Заменяя вектор матрицей-столбцом х, а вектор матрицей-столбцом х, получаем

откуда

где

Ось вращения, определяющая единичный вектор имеет направляющие косинусы . В векторной форме формула (7.6.9) имеет вид

что и требовалось показать.