§ 21.6. Интегральные инварианты.

Рассмотрим снова автономную систему. Оператор определяет преобразование, переводящее точку а — положение изображающей точки в момент в точку х, занимаемую изображающей точкой в момент t. Будем рассматривать теперь не одну начальную точку , а совокупность точек, образующих кривую . Будем предполагать, что эта кривая имеет непрерывно изменяющуюся касательную всюду, за исключением, быть может, конечного числа угловых точек. Преобразование определяемое дифференциальными уравнениями (21.1.1), переводит каждую точку а, лежащую в момент на кривой в точку х, соответствующую моменту эти последние точки в совокупности и образуют кривую

Если на уравнения (21.1.1) смотреть как на уравнения, определяющие движение жидкости (см. § 21.1), то кривая у будет кривой, движущейся вместе с жидкостью, а ее положением, занимаемым в момент

Предположим теперь, что существует векторное поле с составляющими такое, что

для всех значений t и всех возможных кривых При этих условиях криволинейный интеграл

называют интегральным инвариантом уравнений (21.1.1). Если интеграл остается инвариантным для всех кривых — разомкнутых и замкнутых, — то его называют абсолютным интегральным инвариантом. Если же значение интеграла сохраняется постоянным только для замкнутых кривых, то его называют относительным интегральным инвариантом.

Тривиальный пример относительного интегрального инварианта мы имеем, когда есть градиент однозначной потенциальной функции. В этом случае интеграл вдоль любой замкнутой кривой в любой момент времени равен нулю. Другой пример можно привести из классической гидродинамики. Рассмотрим установившееся движение жидкости, тогда составляющие скорости будут зависеть только от х, у, z. Объемные силы, действующие на жидкость, будем считать потенциальными. При этих условиях циркуляция скорости

взятая по замкнутой кривой, движущейся вместе с жидкостью, сохраняет постоянное значение во времени.

Найдем теперь необходимые и достаточные условия того, чтобы интеграл представлял собой интегральный инвариант. Для этого введем параметр и, изменяющийся от до 1, и выразим через него кривую у. Выбор параметра и подчиним дополнительному требованию, чтобы фиксированному значению и отвечали точки, лежащие при любом t на одной и той же траектории. Таким образом,

Функции в правой части принадлежат к классу При фиксированном значении когда и пробегает значения от до 1, уравнения (21.6.4) определяют кривую у. Если же фиксировано значение и, то уравнения определяют траекторию и

Иными словами, кривые представляют собой траектории, а кривые мгновенные положения кривой у, движущейся вместе с жидкостью.

Рассмотрим теперь криволинейный интеграл

(знак суммы мы здесь опускаем). Имеем

Правую часть этого равенства можно представить в форме криволинейного интеграла вдоль кривой у:

где

Необходимое и достаточное условие того, чтобы интеграл был абсолютным интегральным инвариантом, состоит в том, чтобы выражение

равнялось нулю при любом выборе кривой у. Относительный интегральный инвариант мы имеем в том случае, если интеграл равен нулю для всех замкнутых кривых, т. е. если выражение является полным дифференциалом однозначной функции от

Приведенные выше результаты можно получить весьма коротким путем, если воспользоваться представлением о движении жидкости. Рассмотрим линейный элемент движущийся вместе с жидкостью. Тогда

Далее,

Следовательно,

и мы снова приходим к уже полученному ранее результату. В качестве простого примера рассмотрим систему

Интеграл и представляет относительный интегральный инвариант. Это сразу следует из того, что выражение есть точный дифференциал; кроме того, это непосредственно видно из решения

До сих пор мы, рассматривали интегральные инварианты лишь первого порядка. Но можно рассмотреть интегральные инварианты более высоких порядков: 2-го, 3-го, -то, в которых область интегрирования представляет многообразие измерений, движущееся вместе с жидкостью. Для классической динамики наиболее важны крайние случаи, когда многообразие интегрирования имеет размерность либо 1, либо

Всякому относительному интегральному инварианту порядка соответствует абсолютный интегральный инвариант порядка Это следует из обобщенной теоремы Стокса.

Теорию интегральных инвариантов можно распространить на случай, когда система неавтономна и когда функции содержат t. Выражение (21.6.10) заменится при этом следующим:

и интеграл I будет представлять абсолютный интегральный инвариант, если выражение (21.6.17) обращается в нуль при любом выборе кривой у. Если есть точный дифференциал, то мы будем иметь относительный интегральный инвариант.

В качестве тривиального примера, когда функции содержат можно опять-таки рассмотреть систему (21.6.15). Для этой системы абсолютным интегральным инвариантом является В этом можно убедиться либо с помощью общего критерия (из обращения в нуль выражения (21.6.17)), либо непосредственно из решения (21.6.16).