§ 21.10. Линейная система.

Перейдем теперь от системы общего вида

к системе специального вида, правые части которой представляют линейные однородные функции от переменных коэффициенты которых суть заданные вещественные функции от t с непрерывными первыми производными:

Эти уравнения можно кратко записать в следующей форме:

где матрица-столбец матрица размером с элементами вида

В дальнейшем (гл. XXIII) мы дадим решение уравнения (21.10.2) в общем случае, здесь же мы основное внимание уделим частному случаю, когда элементы постоянны (система автономна). При этих условиях решение системы, как легко видеть, запишется в виде

где а есть значение х при а символ обозначает матрицу

Действительно, выражение (21.10.3) удовлетворяет уравнению (21.10.2) и при обращает в а. Вопрос о сходимости также не вызывает затруднений. Если для всех значений то а (где типичный элемент матрицы откуда следует, что каждый элемент матрицы при не превышает выражения

Этот ряд мажорируется заведомо сходящимся экспоненциальным рядом и, следовательно, равномерно сходится в любом промежутке составляющая правой части (21.10.3) представляет собой частный случай (когда есть линейная однородная функция от степенного ряда для полученного нами ранее (в § 21.4) другим способом.