§ 17.9. Ньютоновское притяжение и однородное поле.

Пусть частица движется в плоскости под действием двух полей: поля сил притяжения к началу координат и однородного поля Потенциал такого поля (на единицу массы) равен Введем параболические координаты

Кривая представляет собой параболу с фокусом в точке О и вершиной в точке а кривая с — параболу с фокусом в точке О и вершиной в точке Два эти семейства парабол образуют семейства ортогональных кривых. Области изменения переменных следующие: Напишем обратные формулы:

Опуская положительный множитель можем теперь написать

где (Точкой равновесия в заданном силовом поле будет точка ) Таким образом,

Мы видим, что функция имеет форму (17.2.12), причем

Следовательно, при выбранных координатах система удовлетворяет условиям разделимости, и интегралы уравнений движения находятся из соотношений

где

Перейдем теперь к классификации траекторий. Как и в общей теории (§ 17.4), здесь можно воспользоваться плоскостью однако удобнее применить более простой метод. Кубический полином должен иметь все нули вещественными. В самом деле, если

бы квадратичная форма

имела комплексные нули, то полином был бы отрицательным для всех положительных значений и и никакое движение не было бы возможно. Следовательно, нулями полинома будут причем числа вещественные, Поэтому для классификации траекторий можно вместо плоскости а воспользоваться плоскостью Критические кривые определить нетрудно, однако сделанные в § 17.5 замечания относительно пересечения критических кривых в плоскости а применить здесь непосредственно нельзя.

Итак, определим сначала критические кривые. Для это кривые Область исключается, так как означало бы, что для всех положительных значений и. Таким образом, при имеем либрацию между пределами если и между пределами и 0, если Критическими кривыми для будут Интерпретируем теперь это на плоскости Величины являются корнями уравнения

Следовательно. или обращается в нуль, если точка лежит на гиперболе

Далее, вещественны и различны, если

вещественны и равны, если

и комплексны, если

Полученные кривые изображены на рис. 57. Уравнение (17.9.13) определяет касательную к гиперболе (17.9.11) в точке

Рис. 57.

Рис. 58.

Для классификации траекторий нужно рассмотреть четыре области и разделяющие их граничные кривые. Ниже приводится таблица нулей функций

Теперь легко указать пределы изменения и, когда точка располагается внутри любой из четырех областей; аналогичные сведения можно получить и относительно В области 1 по координате и имеем либрацию между пределами и в областях 2, 3, 4 и совершает либрацию между пределами и 0. Переменная в областях 1 и 2 убывает от до (на полной траектории), а затем снова возрастает до в области 3 имеются две возможности: а) либрация между и и убывание от до и затем возрастание до в области ведет себя так же, как в области 3, случай Наибольший интерес представляет единственный случай ограниченной траектории (область 3, случай а), показанный на рис. 58. В этом случае

а в начальный момент

Условие эквивалентно условию

где начальная скорость, а х, у — начальные координаты точки. Условие (17.9.17) при обращается в известное неравенство для ньютоновской эллиптической орбиты. Условию (17.9.17) нельзя удовлетворить, если

т. е. если начальная точка расположена справа от кривой

Уравнение траектории можно записать в параметрической форме с помощью -функций Вейерштрасса с одним вещественным периодом и с одним чисто мнимым периодом Можем написать

Для и нужна -функция с

а для нужна -функция с

Уравнения траектории в параметрической форме имеют вид

Здесь вещественно, первой функции соответствуют инварианты (17.9.20), а второй — инварианты (17.9.21).

Остановимся коротко на вопросе о траекториях, соответствующих точкам на границах области 3 (рис. 57). Этим точкам соответствуют движения по параболам или или же лимитационные движения, приближающиеся к движениям по этим кривым.

Для граничной кривой 23 (разделяющей области 2 и 3) имеем

где Возможным движением будет движение по дуге параболы расположенной внутри параболы k. Это движение неустойчиво, как и лимитационное движение к этой дуге.

Для граничной кривой 34 имеем

где Частица движется по линии (положительная часть оси между ; движение не будет представлять либрацию, поскольку в точке О силовое поле имеет особенность.

Для точек, расположенных на отрицательной части оси ограничивающей область 3, имеем

где Мы имеем устойчивое движение по линии (отрицательная часть оси между Движение опять-таки не будет либрацией вследствие особенности силового поля в точке О.

Наконец, рассмотрим специальные точки на рис. 57. В точке А имеем

что соответствует неустойчивому равновесию в нейтральной точке (т. е. Возможно также движение вдоль отрицательной части оси при котором когда частица начинает движение с одной из сторон от нейтральной точки с энергией, как раз достаточной для ее достижения. В точке В имеем

Если и первоначально возрастает, то оно достигает значения а затем уменьшается до нуля, и движение происходит по линии (положительная часть оси либо представляет лимитационное движение к . Оба эти движения неустойчивы.

Читатель, который пожелает продолжить классификацию траекторий для других областей и граничных кривых рис. 57, сможет проделать это самостоятельно.

В случае мы имеем одно только поле ньютоновского притяжения. Заметим, что в этом случае задача допускает разделение переменных как в полярных, так и в параболических координатах (§ 17.14).