§ 24.4. Обобщенное точечное преобразование и другие однородные контактные преобразования.

Рассмотрим точечное преобразование

выражающее переход от одной системы лагранжевых координат к другой; функции образуют здесь систему независимых функций от принадлежащих каждая к классу Будем рассматривать натуральную систему и обозначим соответствующие импульсы, как обычно, символами и Тогда преобразование переменных в переменные будет однородным контактным преобразованием; его называют расширенным или обобщенным точечным преобразованием. Это следует из того факта, что скалярное произведение где любая скорость (не обязательно скорость, связанная с импульсом является инвариантом. (Строго говоря, если воспользоваться тензорными обозначениями, то следовало бы писать вместо поскольку ковариантный вектор.)

Таким образом, следовательно,

так что преобразование является однородным контактным преобразованием. Нетрудно написать явные формулы этого преобразования. Если

то

Соотношения (24.4.1) и (24.4.4) определяют контактное преобразование. Как и следовало ожидать из физических соображений, величины являются линейными однородными функциями от Уравнения преобразования не содержат времени.

Разумеется, не составляет труда вывести эти формулы с помощью общего метода § 24.3. В рассматриваемом случае величины не являются независимыми; в самом деле, между этими величинами имеется ровно независимых соотношений (24.4.1). Ранг матрицы (24.2.6) равен нулю. С другой стороны, величины не связаны никакими соотношениями, ибо в противном случае существовала бы связь между независимыми переменными Поэтому уравнения преобразования можно взять в форме (24.3.3), (24.3.4); в самом деле, если

то формулы (24.3.3), (24.3.4) принимают вид

совпадающий с (24.4.1) и (24.4.4).

Если производящую функцию взять зависящей от (что, очевидно, в данном случае нзудобно и делается лишь с целью иллюстрации), то для любого фиксированного

значения t будем иметь

откуда

Таким образом, множителями являются импульсы

Рассуждения легко распространяются на случай расширенного точечного преобразования, содержащего в этом случае функции в формулах (24.4.1) также будут зависеть от t. Мы по-прежнему можем пользоваться производящей функцией (24.4.5); формулы (24.4.6) не изменяют своего вида, хотя теперь содержат t.

Аналогичным образом исследуется и тот случай, когда явно выражены как функции (и, возможно, t). Уравнения (24.4.1) заменяются при этом следующими:

Производящая функция задается выражением

Уравнения преобразования (24.3.10) принимают вид

В расширенном точечном преобразовании, не содержащем t (и являющемся частным случаем однородного контактного преобразования), имеется тождественных соотношений между переменными Фактически для любого однородного контактного преобразования, не содержащего можно указать по крайней мере одно тождественное соотношение, связывающее переменные Для доказательства достаточно заметить, что уравнение

влечет за собой в соотношений

Отсюда следует, что определитель

тождественно равен нулю, а это в свою очередь означает, что между переменными существует соотношение (§ 24.2).