§ 9.3. Приложение теории.

Теория преобразования к главным координатам, изложенная в § 9.2, позволяет применить новый метод к решению конкретных задач. Принципиального отличия от способа § 9.1, конечно, нет, и,

вообще говоря, он приводит к цели медленнее, чем старый метод, однако он имеет то преимущество, что может быть непосредственно применен к таким задачам, для которых уравнения периодов имеют кратные корни. Как и ранее, решаем сначала уравнение периодов

Пусть будут его корни; расположим их в порядке возрастания:

Определим действительный собственный вектор соответствующий каждому собственному значению В случае простых собственных значений никаких трудностей при этом не возникает: собственные векторы определяются однозначно (с точностью до скалярного множителя), и любая их пара удовлетворяет условиям ортогональности (9.2.34), (9.2.35). Если же уравнение периодов имеет кратные корни, решение усложняется, к собственных векторов, соответствующих -кратному корню, должны быть выбраны так, чтобы они образовали независимую систему векторов и чтобы каждая их пара удовлетворяла условиям ортогональности (см. § 9.2, п. 3). Практически бывает достаточно удовлетворить условию (9.2.34); условие (9.2.35) тогда выполняется автоматически.

Рассмотрим теперь матрицу элементами столбца которой являются действительные ненулевые собственные векторы

Преобразование

осуществляет переход к главным координатам. Полное решение задачи производится так же, как и ранее.

Все сказанное выше вытекает из теории, изложенной в § 9.2, но может быть получено и непосредственно.

Убедимся сначала, что выведенные нами векторы линейно независимы. В самом деле, из того, что

следует, что

Но последнее равенство заведомо неверно, поскольку левая часть его положительна, а правая равна нулю. Следовательно, столбцы матрицы 8 независимы и матрица неособенная.

Уравнения движения могут быть представлены в форме

Далее,

где, как и ранее, обозначает диагональную матрицу

Воспользуемся формулой (9.3.7), чтобы записать уравнение движения (9.3.4) через переменные Проделав это, получим

или, принимая во внимание (9.3.8),

Матрица неособенная (поскольку матрица неособенная), и из (9.3.11) мы получаем уравнение

эквивалентное системе уравнений

Стало быть, главные координаты, что и требовалось доказать.

Как указывалось в § 9.2, преобразование (9.3.4) приводит выражения для к суммам квадратов. Этот факт тоже легко доказать непосредственно, поскольку

и матрица диагональна. В самом деле, полагая

находим

и если то в силу условий ортогональности Матрица представляет собой диагональную матрицу А:

в которой

вещественны и положительны. Таким образом,

Аналогично

и так как согласно (9.3.8)

то есть диагональная матрица

и

Если мы нормируем собственные векторы так, чтобы

то каждое равно единице и принимают форму (9.1.22).

Пример 9.3. Найдем преобразование к главным координатам, если

Для этого случая имеем

Уравнение периодов имеет вид

откуда

Для собственные векторы удовлетворяют единственному уравнению

и решениями, удовлетворяющими условию ортогональности, будут (1, —1, 0) и (0, 1, -1).

Для уравнения для собственных векторов имеют вид

и собственным вектором будет (0, 0, 1).

Преобразование к главным координатам имеет вид

Действительно, собственные векторы нормированы и