§ 22.8. Примеры инвариантных областей.

Рассмотрим систему, для которой функция Гамильтона ограничена снизу в фазовом пространстве. Можно считать, что точная нижняя грань функции Гамильтона равна нулю: этого всегда можно добиться, если прибавить к этой функции надлежащим образом выбранную постоянную (что не изменяет уравнения движения) или изменить произвольную постоянную в функции Будем предполагать также, что «поверхность» является замкнутой. Но функция представляет собой интеграл уравнений Гамильтона, так что поверхность является инвариантной областью. Замкнутая область, ограниченная двумя такими поверхностями (т. е. множество точек х, для которых также представляет собой инвариантную область.

В качестве простейшего примера рассмотрим гармонический осциллятор

(единица времени нами выбрана так, чтобы период колебаний составлял Эта система имеет одну степень свободы, фазовое пространство является двумерным, и траектории представляют собой окружности

Изображающая точка равномерно движется по ходу часовой стрелки вдоль каждой из этих окружностей с угловой скоростью, равной единице. Окружность является инвариантной областью: действительно, эта область содержит как раз одну траекторию. Область также является инвариантной. Соответствующее движение жидкости представляет вращение ее как твердого тела, и в качестве инвариантной области можно взять любую окружность или любой круг или же круговое кольцо