Глава XXI. СИСТЕМЫ С n СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК

§ 21.1. Интегралы системы дифференциальных уравнений.

Теперь, после того как мы изучили основные свойства автономной системы второго порядка перейдем к системе общего вида

Известны многие интересные и важные свойства характеристик этих уравнений; некоторые из них мы рассмотрим в этой главе. Однако, как мы уже отмечали, случай произвольного (даже в предположении автономности системы) изучен менее подробно, чем случай системы второго порядка, рассмотренный в двух предыдущих главах.

Число равно удвоенному числу степеней свободы системы Сначала мы будем предполагать, что все переменные вещественны, но позже мы иногда будем считать их комплексными. Часто бывает удобным уравнения записывать в форме (19.1.4):

Решения этих уравнений имеют вид

где а есть вектор х при Как уже указывалось, чем точнее определить функции тем полнее можно представить решения уравнений (§ 19.1). Функции будем считать принадлежащими к классу в некоторой области пространства Отсюда следует, что решения обладают соответствующими свойствами дифференцируемости. Иногда мы будем делать более сильные предположения. В частности, в некоторых случаях будем считать аналитическими функциями от комплексных переменных в некоторой области их изменения; тогда соответствующие решения будут аналитическими функциями от комплексных переменных в определенной области пространства.

Наиболее важным и чаще всего встречающимся случаем является случай автономной системы, когда функции не зависят от

Предполагается, что эти функции по крайней мере имеют непрерывные первые производные в области пространства переменных Можно без потери общности положить так что а будет обозначать вектор в момент Если изображающая точка начинает свое движение в момент из положения а области то в момент t (если не слишком велико) она достигнет точки х этой же области, и соответствующая характеристика будет определяться уравнениями типа (19.1.10):

Траектории изображающей точки, т. е. проекции характеристик на -пространство, представляют дуги силовых линий поля. Эти кривые

определяются уравнениями

Если а — обыкновенная точка области то через нее проходит одна единственная траектория, по крайней мере в некоторой окрестности а; если же а — особая точка, то она сама и будет траекторией; однако возможен случай, когда через а проходит множество силовых линий (см. рис. 75—77). Решение задачи о нахождении характеристик можно разбить на два этапа: сначала определить траектории, а затем искать зависимость между положением изображающей точки на траектории и временем t. Если траектории известны, то второй этап не представляет трудностей, по крайней мере в теоретическом отношении (см. начало § 19.1 и окончание § 21.2).

Разрешая уравнения (21.1.5) относительно получаем

Свойство обратимости функций обнаруживаемое из равенств (21.1.5) и (21.1.7), является важным отличительным свойством автономных систем.

Возвратимся теперь к общему (неавтономному) случаю и рассмотрим функцию принадлежащую к некоторой области класса и обладающую тем свойством, что она остается постоянной в силу дифференциальных уравнений (21.1.1). Иными словами, при движении изображающей точки в соответствии с дифференциальными уравнениями имеет место соотношение

где положение изображающей точки в некоторый момент и оно сохраняется для всех характеристик, хотя постоянная с на различных характеристиках принимает различные значения. Соотношение (21.1.8) называется интегралом системы дифференциальных уравнений (21.1.1) или (21.1.2). Функция удовлетворяет уравнению в частных производных

и обратно, любое решение уравнения (21.1.9) представляет собой интеграл системы (21.1.1) Интеграл, зависящий только от и не зависящий от удовлетворяет уравнению

В этом случае его называют пространственным интегралом.

Если система автономна, то пространственные интегралы системы (21.1.2) являются интегралами системы (21.1.6); любое решение уравнения (21.1.10) есть интеграл системы (21.1.6) и пространственный интеграл системы (21.1.2). Если система автономна и есть интеграл системы (21.1.2), зависящий то есть интеграл этой системы. Аналогично, тоже является интегралом, и т. д., при условии, что частные производные суть функции класса

Можно, разумеется, указать функции, которые сохраняют постоянное значение на некоторых (но не на всех) характеристиках; такие функции не относят к интегралам. Тривиальным примером может служить система уравнений

где - постоянная. Система имеет интегралы

Кроме того, на тех характеристиках, на которых в начальный момент остается постоянным, но это не имеет места на всех характеристиках, и поэтому соотношение не является интегралом.

Обозначим через линейный оператор

фигурирующий в уравнениях (21.1.9) и (21.1.10). Пространственные интегралы системы (21.1.2) удовлетворяют условию

т. е. оператор обращает функции от в нуль. Интегралы, включая те, что зависят от времени, удовлетворяют условию

Систему уравнений (21.1.1) или (21.1.2) можно записать также в форме

или в форме, сходной с (21.1.13):

Как уже указывалось (§ 19.1), иногда бывает полезно уравнения (21.1.1) рассматривать не как уравнения движения изображающей точки, а как уравнения движения жидкости: Это позволяет представить всю совокупность возможных движений или по крайней мере движений, которые начинаются в некоторой области, а не ограничиться одним возможным движением динамической системы. Линии тока в установившемся движении жидкости совпадают с траекториями; они являются также силовыми линиями поля Если есть пространственный интеграл автономной системы, то уравнения определяют (для некоторого интервала значений с) многообразия, содержащие линии тока. В классической гидродинамике оператор обычно обозначают через Величина выражает скорость изменения функции в переменной точке, занимаемой изображающей точкой. Интегралы системы (21.1.1) удовлетворяют условию

которое показывает, что поверхности движутся вместе с жидкостью.

Если автономная система достаточно проста, то можно найти более чем одно решение уравнения (21.1.10); всего может оказаться независимых решений В этом случае каждая траектория представляет линию пересечения поверхностей, определяемых уравнениями вида Всего может быть не более независимых пространственных интегралов. Однако в общем случае нельзя гарантировать существование однозначных или конечнозначных пространственных интегралов. Если мы можем найти независимых решений уравнения (21.1.10), то для получения общего решения достаточно знать одно решение уравнения содержащее t.

Рассмотрим в качестве примера колебательную систему с двумя степенями свободы

где ряд — положительные постоянные; Уравнения траекторий

имеют, как известно, интегралы

Если отношение есть число рациональное, то существует третий пространственный интеграл, представляющий алгебраическую функцию от при иррациолальных интеграла не существует.

Введем новые переменные :

В этих переменных уравнения (21.1.16) принимают вид

Отсюда получаем и

Если отношение есть число иррациональное, то кривая, определяемая уравнениями (21.1.22), плотно заполняет прямоугольник со сторонами (см. рис. 49); при этом конечнозначного интеграла системы (21.1.22) не существует.

Рассмотренный пример поучителен еще в одном отношении. Мы видели, что если имеется интеграл зависящий от времени, то частная производная также представляет собой интеграл; то же верно и для Может показаться, что, имея один такой интеграл, мы указанным путем сможем найти независимых интегралов и в результате получим полное решение задачи. Однако получающиеся при этом интегралы совсем не обязательно будут независимы. Так, например, соотношение

есть интеграл уравнений Производная

образует еще один независимый интеграл. Эти два интеграла определяют и как функции от t. Но уже вторая производная отличается от только множителем и, стало быть, не является интегралом, не зависящим от уже найденных.

В дальнейшем ради краткости мы иногда вместо будем писать Частную производную мы будем обозначать через Функции или в сокращенном обозначении определяются единственным образом исходными дифференциальными уравнениями (21.1.1).

Если выражения (21.1.7) для переменных подставить в правую часть равенств (21.1.3), то получится тождество, содержащее функции

Дифференцируя частным образом по и учитывая, что

приходим к равенству

Другое доказательство этого соотношения будет дано в § 21.5 (см. уравнение (21.5.4)).