§ 18.12. Задача двух тел.

Пусть солнце массы и планета массы движутся в пространстве под действием сил взаимного притяжения Движение планеты относительно Солнца происходит так, как если бы Солнце находилось в покое, а планета двигалась с ускорением направленным вдоль прямой Траекторией в относительном движении планеты будет коническое сечение, в фокусе которого находится Солнце. В § 5.4 было дано элементарное решение этой задачи. В этом и последующем параграфах мы снова рассмотрим относительное движение планеты, на этот раз с позиций теории квазипериодических движений. Мы ограничимся случаем эллиптических орбит, что позволит нам достаточно полно проиллюстрировать различные аспекты теории.

Движение планеты относительно Солнца характеризуется следующей функцией Гамильтона:

где Мы здесь пользуемся сферическими полярными координатами и угол отсчитываем не от полюса, а от экватора, как это принято в астрономии. Приняв соответственно за будем искать полный интеграл К либо путем непосредственного решения модифицированного уравнения в частных производных, либо с помощью теоремы Штеккеля.

Следуя первому из этих способов, запишем уравнение в частных производных:

Решение его ищем в форме

где Подставляя его в уравнение (18.12.2), получаем

Левая часть этого равенства представляет сумму функции от и функции от 0; следовательно, каждая из них должна быть постоянной. Функция от 0,. очевидно, положительна, так что можно написать

и, следовательно,

Полный интеграл теперь находится сразу. Без сколько-нибудь существенной потери общности параметры можно считать положительными, тогда из формулы для следует, что . В интересующем нас случае квадратичная форма имеет два вещественных положительных нуля и движение по координате представляет собой либрацию между пределами . В дальнейшем мы будем предполагать, что параметры удовлетворяют неравенствам

Выбирая теперь обычным образом нижние пределы интегралов, будем иметь

Интегралы лагранжевых уравнений движения имеют вид

Эти уравнения являются основными в излагаемой теории. Движение по координатам и представляет либрацию, а координата все время возрастает. С подобным явлением мы уже встречались ранее, в так же как и там, здесь удобно заменить новой переменной После такой замены

зторое слагаемое правой части уравнения (18.12.11) запишется в виде

и мы будем иметь либрацию по между пределами и —1.

Отвлечемся на время и выясним, в чем состоит отличие полученного нами результата решения, получаемого с помощью теоремы Штеккеля. Одно из таких отличий очевидно: в решении Штеккеля параметры а входят линейно в выражения, стоящие под радикалом. Мы имеем

и

(параметры здесь для отличия их от предыдущих снабжены штрихами). Эти две группы параметров связаны между собой формулами

Преобразование параметров является однородным контактным преобразованием (см. § 15.8):

Значение этого факта станет ясным позднее.