§ 10.2. Исключение одной координаты.

Рассмотрим натуральную систему, для которой

Пусть координата будет циклической. Нас будет интересовать вид функции Рауса при исключении циклической координаты

Процесс можно упростить, если заметить, что

и, следовательно,

где однородная квадратичная форма переменных

и

Циклический интеграл имеет вид

Имеем

Отсюда находим функцию Рауса:

Как отмечалось (§ 10.1), представляет собой определенно-положительную форму.

Исходная система представляла натуральную систему с степенями свободы. После исключения циклической координаты мы получили систему с степенями свободы, но уже не натуральную, содержащую линейные члены:

Особый интерес представляет часто встречающийся в практике случай, когда величина постоянна (и, разумеется, положительна). Тогда функция Рауса (10.2.8) для исследования движения в явных координатах имеет вид

Здесь аисо написано вместо Допустим теперь, что постоянная велика по сравнению с другими (переменными) коэффициентами Тогда скорость будет почти постоянна и равна , а коэффициенты в силу (10.2.5) будут почти равны соответствующим коэффициентам Поэтому, если большая положительная постоянная, то функция Рауса (10.2.9) почти равна (с точностью до постоянных членов) исходной функции Лагранжа, если в ней заменить на постоянную величину .

Линейные члены в выражении для функции Лагранжа могут появиться либо при составлении функции Рауса, либо тогда, когда на систему наложено движение с заданной постоянной скоростью . В рассмотренном выше случае, когда постоянно и велико, эти две, казалось бы, несвязанные причины приводят к одному и тому же результату, а именно к одной и той же функции Лагранжа для изучения движения в явных координатах.

Рассмотрим в качестве примера систему, связанную с массивным телом, способным вращаться около некоторой оси. Пусть будет системой координат, связанной с вращающимся телом, причем за ось выберем ось вращения. Поступая так же, как мы поступали при составлении выражения (6.7.7) для кинетической энергии, несмотря на то, что здесь угловая скорость переменна, тогда как там она была постоянна, находим

где кинетическая энергия относительного движения относительно вращающегося тела), кинетический момент относительно оси в относительном движении, I — (переменный) момент инерции системы относительно оси момент инерции вращающегося тела относительно оси Система имеет степеней свободы и описывается координатами: координатой лагранжевыми координатами определяющими положение системы относительно вращающегося тела. Если соотношения, связывающие не содержат то есть однородная квадратичная форма от переменных — линейная форма от этих же переменных.

Координата является циклической,

и имеет постоянное значение; обозначим его через Тогда функция Рауса будет иметь вид

Это точное выражение для Предположим теперь, что С очень велико, и произведем разложение в ряд по степеням отбросив члены порядка и вытае, получим

Это выражение отличается лишь на постоянную от функции Лагранжа (10.2.10), в которой заменено на со.

Уравнение энергии (6.8.3), полученное из функции Рауса (10.2.13), будет иметь вид

Его можно получить как предельный случай из уравнения энергии для исходной системы. В самом деле, согласно (10.2.10) его можно переписать в виде

Подставляя сюда из уравнения (10.2.11):

и, как и ранее, отбрасывая в разложении члены порядка получаем формулу (10.2.14).