§ 22.9. Эргодические теоремы.

Теорема Пуанкаре (теорема возвращения) устанавливает существование таких движений, когда изображающая точка бесконечное число раз возвращается в исходную область а. Более глубокие свойства этих движений связаны с выяснением следующего вопроса: какую долю времени своего движения изображающая точка находится в области а? Аналогичный вопрос возникает и тогда, когда мы имеем дело с дискретными моментами Именно, спрашивается, какая часть этих моментов характеризуется попаданием изображающей точки в область а? Ответ на эти и аналогичные вопросы дается так называемыми эргодическими теоремами.

Прежде чем переходить к рассмотрению этих теорем, приведем некоторые сведения об интегрировании по точечным множествам. При этом нам придется пользоваться понятием о мере Лебега точечного множества вместо более простого представления об объеме (протяженности), которым мы удовлетворялись до сих пор. В соответствии с этим в дальнейшем конца § 22.17) мы будем рассматривать интегралы Лебега, а не интегралы Римана, которыми обычно пользуются в других разделах классической динамики.

Рассмотрим преобразование определяемое решениями автономной системы

Предположим, что так что преобразование сохраняет меру. Рассмотрим инвариантную область имеющую конечную меру Пусть функция положения, определенная в области и суммируемая в этой области. Обозначим через точку, в которую переходит точка в результате преобразования Иными словами, если движение изображающей точки начинается в момент из положения и определяется уравнением (22.9.1), то в момент t эта точка приходит в положение

Будем рассматривать среднее по времени значение функции на отрезке траектории (например, траектории, начинающейся в точке А), проходимом изображающей точкой с момента до момента Положим

Существование величины почти для всех точек А области следует из суммируемости функции в силу теоремы Фубини. В дальнейшем мы исключим из рассмотрения множества точек А меры нуль, для которых эта величина может не существовать. Основной результат, который составляет содержание эргодической теоремы, заключается в том, что величина при стремится к пределу почти для всех точек А области

Если, в частности, есть характеристическая функция области а (т. е. ) равно единице для точек лежащих в области а, и нулю для точек располояченных в области , то выражает долю времени, в течение которого изображающая точка, начавшая движение в момент из положения А, находится в области а.

Прежде всего заметим, что если существует предел для какой-нибудь точки А, то существует и предел для любой точки на траектории, проходящей через А, причем для всех этих точек он имеет одно и то же значение. Для доказательства того, что при заданном фиксированном значении существует покажем, что

стремится к пределу, когда Имеем

При первый член правой части стремится к а второй — к нулю. Таким образом, предел существует и

В дальнейшем мы увидим, что при известных условиях справедливо и более сильное утверждение, а именно что величина постоянна не только на траектории, но и во всей области Это свойство инвариантных областей играет фундаментальную роль в статистической механике. Впервые оно было высказано в форме правдоподобной гипотезы в кинетической теории газов, где эргодическая теорема используется весьма широко. Нетрудно видеть, что это свойство (постоянство функции в области не имеет места для уравнений Гамильтона в классической динамике: Для того чтобы оно выполнялось, необходимо, чтобы система обладала некоторыми особыми свойствами, о которых речь будет ниже (§ 22.15).