§ 22.9. Эргодические теоремы.
Теорема Пуанкаре (теорема возвращения) устанавливает существование таких движений, когда изображающая точка бесконечное число раз возвращается в исходную область а. Более глубокие свойства этих движений связаны с выяснением следующего вопроса: какую долю времени своего движения изображающая точка находится в области а? Аналогичный вопрос возникает и тогда, когда мы имеем дело с дискретными моментами
Именно, спрашивается, какая часть этих моментов характеризуется попаданием изображающей точки в область а? Ответ на эти и аналогичные вопросы дается так называемыми эргодическими теоремами.
Прежде чем переходить к рассмотрению этих теорем, приведем некоторые сведения об интегрировании по точечным множествам. При этом нам придется пользоваться понятием о мере Лебега точечного множества вместо более простого представления об объеме (протяженности), которым мы удовлетворялись до сих пор. В соответствии с этим в дальнейшем
конца § 22.17) мы будем рассматривать интегралы Лебега, а не интегралы Римана, которыми обычно пользуются в других разделах классической динамики.
Рассмотрим преобразование
определяемое решениями автономной системы
Предположим, что
так что преобразование сохраняет меру. Рассмотрим инвариантную область
имеющую конечную меру
Пусть
функция положения, определенная в области
и суммируемая в этой области. Обозначим через
точку, в которую переходит точка
в результате преобразования
Иными словами, если движение изображающей точки начинается в момент
из положения
и определяется уравнением (22.9.1), то в момент t эта точка приходит в положение
Будем рассматривать среднее по времени значение функции
на отрезке траектории (например, траектории, начинающейся в точке А), проходимом изображающей точкой с момента
до момента
Положим
Существование величины
почти для всех точек А области
следует из суммируемости функции
в силу теоремы Фубини. В дальнейшем мы исключим из рассмотрения множества точек А меры нуль, для которых эта величина может не существовать. Основной результат, который составляет содержание эргодической теоремы, заключается в том, что величина
при
стремится к пределу
почти для всех точек А области
Если, в частности,
есть характеристическая функция области а (т. е.
) равно единице для точек
лежащих в области а, и нулю для точек
располояченных в области
, то
выражает долю времени, в течение которого изображающая точка, начавшая движение в момент
из положения А, находится в области а.
Прежде всего заметим, что если существует предел
для какой-нибудь точки А, то существует и предел
для любой точки
на траектории, проходящей через А, причем для всех этих точек он имеет одно и то же значение. Для доказательства того, что при заданном фиксированном значении
существует
покажем, что
стремится к пределу, когда
Имеем