§ 21.16. Критический случай.

Теорема Пуанкаре — Ляпунова ничего не говорит нам о критическом случае, когда некоторые из имеют чисто мнимые значения.

Если то критический случай соответствует особой точке типа центра; мы видели в § 19.4, что хотя линейное приближение дает устойчивость, точное поле может дать как устойчивость, так и неустойчивость. Случай отличается от случая тем, что при наличии кратных чисто мнимых корней неустойчивость можно получить уже в линейном приближении (§ 21.11). Даже в том случае, когда линейное приближение дает устойчивость, точное поле может дать как устойчивость, так и неустойчивость. Мы приведем пример каждой из этой возможностей в случае . В первом из этих примеров рассматриваются малые колебания около положения, где потенциальная энергия V имеет минимум. Равновесие в этом случае, как известно, устойчиво

Пример 21.16А. Маятник на упругой нити. Эта задача отличается от обычной задачи о колебании маятника тем, что неупругая нить заменена упругой, подчиняющейся закону Гука. Система имеет две степени свободы и

Пусть а — длина нерастянутой струны, а длина растянутой струны в положении статического равновесия. Если длина струны в некоторый момент угол ее отклонения от направленной вниз вертикали,

то кинетическая и потенциальная энергии системы запишутся следующим образом:

где импульсы обозначены соответственно через и . Функция Гамильтона равна а уравнения движения Гамильтона имеют вид

В положении равновесия положив мы придем к следующим уравнениям линейного приближения:

Как и следовало ожидать, собственные значения равны (В данном случае нет необходимости вычислять определитель четвертого порядка, поскольку уравнения линейного приближения распадаются на две группы, одна из которых содержит только и а другая — только и в самом деле, имеем

Рассмотрим теперь точное поле Потенциальная энергия V имеет минимум в положении равновесия. При малых положительных значениях кривые представляют собой простые замкнутые выпуклые кривые вокруг точки равновесия Если постоянная энергии равна то в течение всего движения будем иметь

так что частица не выйдет за пределы кривой и кинетическая энергия будет оставаться малой. Поэтому будут малы и величины откуда следует, что равновесие является устойчивым.

В явной форме уравнение кривой записывается в виде

где

Экстремальные значения на кривой достигаются при и равны Что касается значений 0, то они заключены между пределами которые определяются из уравнения

(если то ). Если груз подвешен на струне, а не на

пружине, то при с струна будет, разумеется, натянута во все время движения. Кривые (21.16.7) для значений представлены на рис. 99.

Рис. 99.

Введем прямоугольные координаты начало возьмем в положении равновесия, а ось и направим вертикально вниз. В этих координатах уравнение (21.16.7) запишется в виде

или

Пример 21.16В. Рассмотрим систему, для которой а функция Гамильтона имеет вид

Параметры будем считать вещественными и положительными. Уравнения движения будут иметь вид

Собственные значения матрицы линейного приближения равны и движение определяется следующими формулами:

где суть значения при Решение можно записать также в виде

Все полученные орбиты периодичны с периодом и особая точка по первому приближению устойчива.

Рассмотрим теперь точное поле Уравнения (21.16.12) удовлетворяются функциями

при всех значениях Если велико, то в момент изображающая точка находится вблизи от точки О, но для значений близких к она отстоит от точки О на большом расстоянии. Точное поле показывает, что особая точка неустойчива. Рассмотрим конкретный пример. Пусть в момент Решение дается формулами (21.16.15), в которых и

К этой задаче мы вернемся позже, в § 30.4.