§ 27.3. Принцип наименьшего действия в форме Якоби.

Трудности, связанные с ограничением, накладываемым на вариации в принципе наименьшего действия, иллюстрированные выше, заставили искать новую форму принципа, свободную от упомянутого ограничения. Оказалось, что такая форма принципа получается достаточно просто.

Рассмотрим голономную систему с степенями свободы и предположим сначала, что система натуральная. Как для исходного, так и для варьированного движения будем иметь

Согласно принципу наименьшего действия функционал

принимает стационарное значение в классе движений с постоянной энергией Теперь, однако, это последнее ограничение (требование о постоянстве энергии всех сравниваемых движений) не является существенным. В самом деле, подынтегральная функция в выражении (27.3.2) является однородной функцией первой степени относительно скоростей, так что значение интеграла зависит только от траектории системы в -пространстве и не зависит от скорости движения вдоль этой траектории. Таким образом, мы приходим к следующей теореме: интеграл

в действительном движении принимает стационарное значение по сравнению с его значениями для соседних движений, соединяющих те же концевые точки в -пространстве. В этом заключается принцип наименьшего действия в форме Якоби. Задача об определении траектории изображающей точки в -пространстве свелась, таким образом, к обычной задаче вариационного исчисления с фиксированными концами.

Для задачи о движении частицы в пространстве под действием сил консервативного поля с потенциалом V выражение (27.3.2) принимает вид

где длина дуги. Эта форма записи напоминает принцип Ферма в оптике. Принцип Ферма утверждает, что луч света из точки А идет в точку В таким образом, что время прохождения им расстояния от А до В имеет минимальное (или по крайней мере стационарное) значение. Этот принцип справедлив даже в тех случаях, когда световой луч претерпевает внезапные изменения направления, как это бывает, например, при отражении от зеркала или при встрече с поверхностью линзы с резко отличающимся показателем преломления. В динамике чаще всего приходится встречаться с задачами, аналогичными распространению света в среде с непрерывно изменяющимся показателем преломления Скорость света в такой среде пропорциональна и путь, для которого время распространения света является наименьшим, определяется из условия минимума функционала

Таким образом, задача динамики об определении траектории движения частицы совпадает с задачей оптики об отыскании формы светового луча, если силовое поле и постоянная энергии в первой из них связаны с показателем преломления во второй соотношением

Если система не является натуральной, то выражение (27.3.2) заменяется следующим:

В качестве простого примера рассмотрим задачу о плоском движении частицы в однородном поле. Траекториями движения являются кривые, доставляющие стационарное значение интегралу Для однородного поля напряженности направленного вдоль оси потенциал имеет выражение и интеграл принимает вид Выбирая теперь ось в качестве нулевого уровня энергии, находим, что и задача сводится к отысканию экстремалей интеграла

Подынтегральная функция не содержит х, поэтому получаем хорошо известный первый интеграл

откуда находим

где выражает наклон траектории к оси х. Имеем

откуда получаем

Исключаяя из (27.3.7) и (27.3.9), находим уравнение траекторий

Ими являются параболы, расположенные в верхней полуплоскости и имеющие ось в качестве директрисы.

Принцип наименьшего действия в форме Якоби показывает, что в случае натуральной системы функция

может быть использована в качестве функции Лагранжа и из нее могут быть получены уравнения движения, которым удовлетворяют движения с энергией . В этом нетрудно убедиться непосредственным вычислением. Заметим при этом, что дифференциальных уравнений, получающихся из функции Лагранжа (27.3.11), не являются независимыми; этот факт хорошо известен в теории параметрических задач вариационного исчисления. Уравнения определяют только траектории в -пространстве для движений с энергией Чтобы определить скорость движения изображающей точки вдоль траектории, нужно учесть, что полная энергия равна

Для доказательства того, что уравнения, полученные из функции Лагранжа (27.3.11), не независимы, достаточно заметить, что, умножая уравнение на и суммируя по от 1 до мы получаем (см. § 6.7)

Правая часть этого равенства тождественно равна нулю, поскольку функция V — однородная функция первой степени от переменных

В качестве простого примера использования функции Лагранжа (27.3.11) рассмотрим снова задачу о плоском движении частицы в однородном поле направленном вдоль оси . В этом случае

и координата х является циклической. Поэтому из уравнения движения относительно координаты х получаем

что эквивалентно (27.3.7). Как мы уже отмечали, уравнение для координаты у не независимо, так что одного уравнения достаточно для определения траектории.

Так как функционал (27.3.2) зависит только от пути изображающей точки в -пространстве и не зависит от скорости ее движения вдоль него, то независимую переменную t можно заменить на новую переменную В качестве такой переменной можно взять, например, одну из координат Введем функцию являющуюся однородной квадратичной формой переменных где Если

то

Для промежутка времени, в течение которого переменная монотонно изменяется вместе с имеем

В соответствии с принципом наименьшего действия в форме Якоби можно теперь выражение

принять в качестве новой функции Лагранжа с независимой переменной введенной вместо времени. Соответствующие уравнения движения по-прежнему будут определять только траекторию движения, но не скорость перемещения вдоль нее.

В качестве простого примера рассмотрим плоское движение частицы под действием притяжения к центру, когда известна потенциальная функция . В полярных координатах будем иметь

Полагая получаем

Координата является циклической, и первый интеграл

приводит к хорошо известному дифференциальному уравнению орбиты (см. (5.2.42))