§ 16.9. Центральная орбита.

Применим метод Гамильтона — Якоби к решению некоторых хорошо известных задач динамики. Рассмотрим сначала задачу о движении частицы в центральном поле с потенциалом

Выбрав в качестве лагранжевых координат представим функцию в виде

(Напомним, что для натуральной системы

и в ортогональных криволинейных координатах (§ 10.14) функция может быть выражена через переменные Модифицированное уравнение в частных производных (16.5.4) запишется в виде

Требуется найти решение, которое бы, кроме содержало еще произвольную постоянную а. Поскольку координата циклическая, полагаем

где есть функция от Функция (16.9.3) удовлетворяет уравнению (16.9.2), если

Обозначим правую часть уравнения (16.9.4) через Тогда

Здесь а есть простой нуль функции (см. § 16.7); в большей части случаев движение представляет собой либрацию по между двумя простыми нулями функции причем когда Решение задачи Лагранжа (движение частицы в плоскости) дается уравнениями

и

Мы получили решение, найденное нами ранее в примере уравнение (16.9.6) совпадает с (5.2.41), а уравнение (16.9.7) — с (5.2.43).

Сделаем одно замечание относительно обозначений. В интегралах, встречающихся в формулах (16.9.5) — (16.9.7), буква в одних случаях обозначает переменную интегрирования, а в других — верхний предел. Например, формула (16.9.6) иногда записывается так:

Конечно, не очень хорошо, что одна и та же буква применяется в различных смыслах, но на это можно пойти ради удобства, надеясь, что это не явится источником недоразумений.