§ 3.4. Консервативные силы и вторая форма уравнения энергии.

До сих пор мы под х понимали действительные координаты точек системы в момент t и искали х как функции от t. Рассмотрим теперь все поле координат х. а не совокупность значений, принимаемых системой в процессе движения. Координаты х будут временно играть роль независимых переменных.

Пусть заданные силы зависят только от х и не зависят от Во многих случаях форма Пфаффа фигурирующая в основном уравнении (3.1.1), является полным дифференциалом однородной однозначной функции — V аргументов

При этом говорят, что заданные силы консервативны (или что механическая система консервативна), а функцию V называют потенциальной энергией заданных сил (или системы).

Если заданные силы консервативны, то для произвольного замкнутого контура в -мерном пространстве справедливо равенство

Этот результат следует непосредственно из (3.4.1). Легко видеть, что, и обратно, существование функции V, удовлетворяющей условию (3.4.1), вытекает из (3.4.2). В самом деле, значение функции V в точке пространства равно интегралу взятому по произвольной кривой, соединяющей неподвижное начало координат О с точкой

Если система консервативна, то основное уравнение (3.1.1) можно записать в следующей форме:

В § 1.2 был приведен простой пример консервативной системы, состоящей из одной частицы. Другой простой пример представляет частица, движущаяся в силовом поле Если поле однородно и вектор напряженности его равен и направлен в отрицательную сторону оси то потенциальная энергия равна

Для поля сил притяжения к началу координат имеем

Другими частными случаями являются 1) изотропный осциллятор, для которого и 2) притяжение по закону Ньютона, для которого Во всех этих случаях постоянной интегрирования, можно придать какое угоднр значение; практический интерес представляет лишь изменение V при переходе системы из одного положения в другое. Для систем, содержащих много частиц, примером консервативной силы может служить сила притяжения между двумя частицами, когда она зависит от расстояния между частицами. Если сила притяжения равна то потенциальная энергия определяется интегралом В частности, еслиф то потенциальная энергия равна у к если дается ньютоновским притяжением то потенциальная энергия равна В случае трех взаимно притягивающихся частиц имеем

массы частиц, а расстояние между частицами Обобщение на случай тел представляется очевидным.

Вернемся теперь к катастатической механической системе и предположим, что заданные силы консервативны и потенциальная энергия равна Подставим в выражение для функции V значения координат принимаемые в момент t при некотором действительном движении системы. Теперь V представляет собой не значение потенциальной энергии в произвольной точке, а ее значение в определенной точке в момент t. При этом

Учитывая (3.3.2), получаем

Отсюда

где постоянная. Уравнение (3.4.5) определяет вторую, или классическую, форму уравнения энергии, или интеграл энергии. Для катастатической системы, находящейся под действием заданных консервативных сил, сумма кинетической и потенциальной энергий системы сохраняет постоянное значение при любом движении системы; значение в каждом движении определяется начальными условиями. Поверхность в -мерном пространстве называют поверхностью постоянной энергии для данного движения. Так как то в течение всего времени движения системы

На первый взгляд может показаться странным, что классическая форма уравнения энергии сохраняет силу для таких систем, у которых коэффициенты в уравнениях связи зависят от t. Хотя в большей части случаев, представляющих практический интерес, эти коэффициенты и не зависят от все же интересно проиллюстрировать случай зависимости коэффициентов от t на простом конкретном примере. Рассмотрим плоское движение частицы массы находящейся в однорядном силовом поле при наличии связи вида Предположим, что в момент частица находится в точке и имеет начальную скорость Уравнения движения будут иметь вид

Кроме того,

Интегрируя, получаем

где Непосредственной проверкой убеждаемся, что уравнение энергии

удовлетворяется.

Прежде чем закончить рассмотрение классической формы уравнения энергии, заметим, что предположение, принятое нами относительно функций является строго говоря, более сильным, чем это действительно необходимо. Мы предполагали, что выражение есть точный дифференциал для произвольных вариаций тогда как достаточно было считать его точным дифференциалом для произвольного перемещения системы. (Строго говоря, мы имеем дело с произвольным виртуальным перемещением, но в данном случае можно опустить слово «виртуальный», поскольку речь идет о катастатической системе, для которой виртуальные и возможные перемещения совпадают.) Приведем простой пример. Предположим, что частица совершает движение в силовом поле Согласно теореме Пфаффа можно представить пфаффову форму в виде где и функции от х, у, z. Вообще говоря, таким путем мы еще не получаем уравнения энергии в классической форме (3.4.5). Но если система подчинена связи

то для произвольного (виртуального) перемещения имеем

Отсюда следует, что классическая форма уравнения энергии (3.4.5) сохраняет силу.

Можно отметить, наконец, что встречаются системы, в которых заданные силы зависят как от так и от и для которых

где и символ выражает пространственный дифференциал при фиксированном t. (Простым примером служит движение заряженной частицы в однородном магнитном поле, напряженность которого изменяется со временем.) В данном случае мы не имеем классического интеграла энергии, тем не менее свойство, выражаемое соотношением приводит к упрощению уравнений движения (§ 6.5).