Глава XVI. ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА—ЯКОБИ

§ 16.1. Уравнение Гамильтона в частных производных.

Как уже отмечалось в § 15.8, главная функция играла бы весьма важную роль в исследовании динамических систем, если бы мы могли построить ее без предварительного определения интегралов уравнений движения. В этой главе мы укажем метод, с помощью которого можно построить если не функцию то крайней мере другие функции, полезные для описания движения системы.

Без потери общности можно всюду в дальнейшем считать . В случае, когда не зависит от зависит от разности это очевидно. Но это верно и в общем случае, когда зависит явно от так как при произвольно взятой начальной точке в -пространстве предположение не ограничивает совокупности всех возможных движений.

Мы допустим большую свободу в выборе параметров, определяющих траекторию системы (§ 15.8, п. 4). Вместо начальных значений координат и импульсов мы в качестве параметров, определяющих траекторию в фазовом пространстве, возьмем Эти величины являются функциями от с непрерывными первыми производными, однако они не произвольны и должны (см. § 15.8) удовлетворять условию

Когда мы вводили впервые понятие о главной функции, мы траекторию определяли начальной и конечной координатами и моментами времени Теперь мы станем на другую точку зрения и будем считать, что траектория определяется величинами равно нулю), а функцию будем выражать через эти переменных (см. § 15.8, п. 4). Опустим для удобства индекс 1 в обозначениях координат конечной точки, а также в символах и будем теперь конечную точку определять координатами а время достижения ее будем обозначать просто через t. Таким образом,

и

(знак суммы для краткости записи опущен). Отсюда получаем

Как уже отмечалось, уравнений (16.1.4) дают решение задачи Лагранжа, так как с их помощью можно выразить каждое через уравнений (16.1.4) и (16.1.5) дают решение задачи Гамильтона, так как с их помощью можно выразить через

Функция Гамильтона входящая в правую часть равенства (16.1.6), есть известная функция от

или, короче,

Заменяя в правой части равенства на получаем тогда для следующее дифференциальное уравнение:

или, короче,

Это есть дифференциальное уравнение Гамильтона. Оно представляет собой нелинейное уравнение в частных производных первого порядка. Главная функция, выраженная через параметров а, является полным интегралом этого уравнения.

Существует, как известно, множество полных интегралов уравнений в частных производных, и нет гарантии, что найденный нами полный интеграл дифференциального уравнения Гамильтона будет представлять искомую главную функцию. Но тогда возникает вопрос: может ли любой полный интеграл быть полезен для наших целей? Ответ на этот вопрос оказывается утвердительным, и это обстоятельство составляет сущность теоремы Гамильтона — Якоби.

Мы приведем два доказательства этой теоремы: первое будет основано на непосредственной проверке, а второе — связано с эквивалентностью системы уравнений Гамильтона некоторому уравнению Пфаффа.