Глава XIII. ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИББСА-АППЕЛЯ

§ 13.1. Плоское движение частицы.

Применим сначала уравнения Гиббса — Аппеля к исследованию плоского движения частицы. В качестве координат возьмем

Здесь лагранжева координата, квазикоордината. Имеем

Следовательно,

Далее,

Учитывая (13.1.3), находим

С другой стороны,

так что из (13.1.5) и (13.1.6) следует, что

Таким образом, окончательно получаем

Поскольку члены, не зависящие от ускорения, можно опустить, вместо (13.1.8) можно написать

Выражение для можно вывести и непосредственно, если заметить, что радиальная составляющая ускорения равна

а окружная составляющая равна

Если радиальную и окружную составляющие силы обозначить соответственно через то работа, совершаемая на виртуальном перемещении, будет равна

и уравнения Гиббса — Аппеля примут вид

В задаче о движении по центральным орбитам силовое поле радиальное и мы имеем первый интеграл Первое уравнение принимает теперь вид

и если сразу получаем известный первый интеграл (5.2.39):