Глава XI. ПЕРЕМЕННАЯ МАССА
§ 11.1. Частица переменной массы. Функция Лагранжа.
В специальной теории относительности масса частицы считается переменной, зависящей от скорости частицы. Если масса частицы в состоянии покоя равна та, то при движении со скоростью 
ее масса будет определяться выражением
где с — скорость света. В большей части практических случаев отношение 
мало и 
можно считать равным 
Отличие становится заметным лишь тогда, когда 
приближается к единице: при 
Поэтому необходимо исследовать, какие изменения претерпит развитая ранее теория, если массу частицы считать функцией скорости: 
Теоретически нет необходимости требовать, чтобы функция 
была одной и той же для всех частиц, хотя обычно в приложениях зависимость 
принимается в виде (11.1.1) для всех частиц.
В случае точки переменной массы второй закон Ньютона 
записывают в форме 
произведение массы на ускорение заменяют производной от импульса. Логические основания для такой замены даются теорией относительности. Первое, что бросается в глаза, это то, что в общем случае направление ускорения не совпадает с направлением силы. В самом деле,
Уравнения движения свободной частицы в неподвижных прямоугольных осях координат имеют вид
Рассмотрим систему частиц переменной массы. В обозначениях § 2.2 уравнения движения (2.2.12) заменятся следующими:
Для произвольного виртуального перемещения имеем
Основное уравнение (3.1.1) запишется теперь в виде
Если массы частиц постоянны, то уравнение (11.1.4) принимает, разумеется, форму (3.1.1).
Рассмотрим теперь голономиую консервативную систему с 
степенями свободы. Введем лагранжевы координаты 
Соотношение 
и уравнение (11.1.4), справедливое для любой системы значений 
позволяют написать следующие уравнения:
Применим к ним преобразование § 6.1. Для этого воспользуемся доказанными ранее леммами, а именно:
С помощью этих лемм уравнения (11.1.5) можно записать в форме
или
Мы пишем символ 
поскольку суммирование производим по 
частицам, а не по 
координатам. Это удобнее, так как масса каждой частицы зависит от ее скорости.
Введем функцию
или, точнее.
Уравнения (11.1.7) тогда запишутся в виде
Уравнения движения можно записать в форме Лагранжа. если положить
Отметим, что в общем случае 
не является квадратичной формой от 
как ото имело место в случае постоянных масс.
