§ 23.3. Случай постоянных коэффициентов.

Рассмотрим уравнения

и пусть элементы матрицы а будут постоянны. Как мы видели, решение в этом случае имеет вид

Этот результат легко получается, если матрица А имеет диагональную форму. Тогда уравнения имеют вид

где Система распадается на независимых уравнений. Решением будет

что совпадает с (23.3.2); поскольку матрица является диагональной:

Если в уравнениях (23.3.1) произвести преобразование где матрица с неособенная, то получим

Матрицу С можно выбрать таким образом, чтобы матрица имела нормальную форму Жордана Тогда

Если все собственные значения матрицы а различны или если они не все различны, но элементарные делители все простые, то матрица является диагональной и уравнения в вариациях могут быть представлены в форме (23.3.3).

В общем случае имеем

и

Далее,

где диагональная матрица, диагональные элементы которой не обязательно все различны, и

Матрица имеет строк и столбцов, и

Далее имеем

Матрицу нетрудно вычислить. В самом деле, как мы видели, эта матрица имеет диагональную форму с диагональными элементами

Вычислим матрицу Имеем

где

есть матрица, все элементы которой, кроме тех, что расположены непосредственно справа от главной диагонали, равны нулю. Матрица получается из путем сдвига всех единиц на один элемент вправо, матрица путем сдвига всех единиц на два элемента вправо и т. д. Матрица является нулевой; такой же будет и матрица при Таким образом, степенной ряд для является конечным и

Но

и, таким образом, все матрицы в (23.3.13) вычислены. Окончательно матрица находится из (23.3.9).

В качестве простого примера рассмотрим случай причем будем считать, что матрица А имеет нормальную форму Жордана

Тогда

и

Таким образом, если матрицу удается представить в диагональной форме (т. е. если эта матрица имеет простые элементарные делители), то решение системы (23.3.1) имеет вид

В частности, если постоянные X все чисто мнимые, то решение содержит лишь синусы и косинусы, аргумент которых пропорционален t. В этом случае величина будучи малой в начальный момент, остается малой и в дальнейшем, так что исходное движение устойчиво по первому приближению.

В общем случае решение содержит члены вида Если все постоянные X имеют отрицательные вещественные части, то при и система асимптотически устойчива по первому приблиокению. (Это следует из того факта, что при положительных N и к выражение стремится к нулю, когда )

Если хотя бы одно X имеет положительную вещественную часть, то мы имеем неустойчивость по первому приближению отклонение, определяемое линейным приближением, не остается малым. Если имеется кратное чисто мнимое X и соответствующий элементарный делитель не является простым, то решение уравнений Якоби содержит члены вида что опять-таки дает неустойчивость по первому приближению.