§ 22.13. Доказательство эргодической теоремы; первый этап.
Для величин, связанных с максимальными отрезками ранга 
(лемма 5), удобно ввести новые обозначения. Положим
Так как
то будем иметь
Всякой паре целых чисел 
удовлетворяющих неравенству (22.13.3), поставим в соответствие подмножество 
тех точек множества 
которые связаны с отрезком 
в смысле леммы 5. Заметим, что подмножества 
соответствующие различным парам целых чисел 
не имеют общих точек. Через 
единиц времени множество 
переходит в множество
так что
Далее, для любой суммируемой функции 
имеем
С помощью этих соотношений находим
До сих 
считалось фиксированным целым положительным числом. Но равенство (22.13.7) остается в силе для всех достаточно больших 
устремляя 
к бесконечности, находим
Проведем теперь аналогичные рассуждения для нижнего предела области а (лемма 1). Поскольку
мы можем совершенно так же доказать, что
Но соотношения (22.13.8) и (22.12.10) противоречат друг другу, так как 
из чего заключаем, что предположение, что
неверно. Иными словами, величина 
стремится к пределу 
почти для всех точек 
множества 
