§ 12.3. Пятая форма основного уравнения.

Вычислим работу, совершаемую заданными силами на виртуальном перемещении. Выражение для этой работы, фигурирующее в первой форме (3.1.1) основного уравнения, имеет вид Подставляя сюда из (12.2.8), получаем

где

Рассмотрим теперь соответствующее выражение, входящее во вторую форму (4.1.3) основного уравнения, а именно есть конечное, а не бесконечно малое приращение скорости, совместимое с положением системы в данный момент времени. Из уравнения (12.2.6) для любой возможной системы скоростей получаем

Если мы рассмотрим другую возможную систему скоростей при той же конфигурации системы, то будем иметь

едовате

Таким образом,

где те же коэффициенты (12.3.2), что и в первой форме основного уравнения.

Рассмотрим, наконец, третью форму (4.2.4) основного уравнения. Из (12.3.3), дифференцируя, получаем

где обозначает оператор Если мы рассмотрим другую возможную систему ускорений при той же конфигурации системы и тех же скоростях, то будем иметь

Следовательно,

Таким образом,

и сюда опять входят те же коэффициенты

Третья форма (4.2.4) основного уравнения приводит теперь к соотношению

представляющему собой пятую форму основного уравнения. § 12.4. Определение ускорения. Введем функцию Гиббса

которую с помощью формул (12.3.7) выразим через Функция Гиббса будет представлять собой полином от вида

где однородная квадратичная функция от однородная линейная функция от не зависит от Обычно легко находится, так как коэффициенты здесь те же, что и у квадратичных членов в выражении для представленном в виде функции от Члены должны быть определены независимо, а члены несущественны, и их можно вообще опустить. Основная задача, таким образом, заключается в определении

Коэффициенты функции в общем случае зависят от всех переменных а не только от первых При желании можно

исключить с помощью уравнений

получаемых из (12.2.7), однако эта процедура не дает каких-либо заметных преимуществ. Уравнения (12.4.3) тем не менее будут встречаться нам в дальнейшем в общей совокупности уравнений.

Рассмотрим теперь систему, конфигурация и скорость которой заданы в момент t. Мы хотим получить уравнения для определения ускорений частиц системы. Этого легко достигнуть при помощи следующей простой и важной теоремы. Ускорение системы таково, что выражение

рассматриваемое как функция от имеет минимум. Применяя эту теорему, координаты и составляющие скоростей следует считать постоянными; фактически мы имеем дело с квадратичной функцией с постоянными коэффициентами.

Доказательство теоремы очень простое. Если через обозначить ускорение в действительном движении, а через ускорение в любом другом возможном движении, то будет справедливо следующее равенство:

Последняя скобка в правой части тождественно равна нулю, как это следует из пятой формы (12.3.11) основного уравнения. Следовательно, если то

и теорема, таким образом, доказана.

Эта теорема тесно связана с принципом наименьшего принуждения Гаусса (§ 4.3). В самом деле, имеем

а это с точностью до членов, не содержащих ускорений, то же самое, что

Выражение 2 Хтхг отличается от лишь членами, не зависящими от ускорений. Таким образом, (12.4.4) отличается от С только членами, не содержащими ускорений, и, следовательно, теорема (12.4.6) может быть получена из принципа наименьшего принуждения Гаусса.