§ 8.2. Формулы ускорения в ортогональных координатах.

Положение точки, движущейся в пространстве, будем определять ортогональными криволинейными координатами Квадрат линейного элемента в этих координатах будет иметь следующее выражение:

Коэффициенты здесь являются функциями от переменных принадлежащими классу . В каждой точке пространства определены три главных взаимно ортогональных направления. Например, в точке первое главное направление задается касательной к кривой причем а вдоль этого направления возрастает. Это направление мы иногда будем называть -направлением.

Для частицы единичной массы имеем

Если на эту частицу действует сила с составляющими по главным направлениям, то работа этой силы на виртуальном перемещении будет равна

Первое уравнение Лагранжа имеет вид

Составляющая ускорения вдоль -направления имеет следующее выражение:

или подробнее:

Составляющие ускорения по направлениям В и у выражаются аналогичным образом.

Отметим два важных частных случая:

1) Для цилиндрических координат имеем

и составляющие ускорения равны

2) Для сферических координат имеем

и составляющие ускорения равны