§ 29.3. Три точки Лагранжа.

Лагранж указал на то, что в ряде случаев удается получить точные решения уравнений движения. В частности, имеются две задачи, в которых расстояния сохраняют постоянные значения в течение всего времени движения. В первой из этих задач частицы располагаются в вершинах треугольника постоянного размера и постоянной формы, а во второй задаче они располагаются вдоль одной прямой.

Начнем с выяснения вопроса о том, возможно ли вообще такое движение системы, при котором треугольник вращается в собственной плоскости с постоянной угловой скоростью со вокруг точки находящейся в покое. Равнодействующая всех сил, действующих на частицу в любой момент времени должна быть равна и направлена вдоль прямой следовательно, должны выполняться условия

Рис. 118.

Через обозначен центр масс частиц а через — углы (рис. 118). Далее имеем

откуда, учитывая (29.3.1), получаем, что

Аналогичным образом, рассматривая движение частицы приходим к выводу, что Следовательно, чтобы было возможно такое движение, треугольник должен быть равносторонним: Обозначим длину его стороны через

Обратимся теперь ко второму уравнению (29.3.2). Если провести в треугольнике отрезок параллельно стороне (см. рисунок), то будем иметь

откуда

Равенство (29.3.2) теперь принимает вид

или

Ясно, что аналогичные условия будут выполняться и для двух остальных частиц. Таким образом, мы доказали возможность движения системы, при котором частицы располагаются в вершинах равностороннего треугольника со стороной I, вращающегося с угловой скоростью Размер стороны I может быть любым, угловая скорость при этом пропорциональна (что с очевидностью следует из теории размерностей).

Докажем теперь, что возможно также движение частиц, когда все они расположены на одной прямой, проходящей через центр масс и равномерно вращающейся в плоскости. Обозначим расстояния точек от центра через Без потери общности можно предположить, что при этом Обозначив угловую скорость через со, будем иметь

Заметим, что соотношение (29.3.9) справедливо как при положительном так и при отрицательном Сразу убеждаемся, что

Легко видеть, что равенства (29.3.8) — (29.3.10) определяют отношения Положим , тогда

и мы будем иметь

Отсюда получаем уравнение пятой степени относительно к:

Это уравнение имеет только один вещественный корень; будучи положительным, он определяет единственное значение к для отношения Расстояние может быть любым, и при этом пропорционально Если величина задана, то значения легко находятся. Имеем

Отсюда, учитывая (29.3.11), получаем

Из (29.3.8) и (29.3.10) находим

Этот результат, разумеется, можно представить и в других формах.

Выше предполагалось, что частица располагается между Существуют еще два решения, соответствующие случаям, когда промежуточное положение занимает частица или частица