§ 12.5. Уравнения Гиббса — Аппеля.

Доказанная выше теорема (§ 12.4) о том, что выражение в действительном движении имеет минимум, позволяет составить уравнения движения. Для этого достаточно написать условия стационарности. Тогда получим уравнения

называемые уравнениями Гиббса — Аппеля. Их можно было бы получить из пятой формы (12.3.11) основного уравнения, если бы мы рассматривали бесконечно малые, а конечные приращения. Уравнения (12.5.1) впервые были получены Уиллардом Гиббсом в 1879 г. и подробно исследованы Аппелем двадцать лет спустя. Яспо, что при составлении уравнений движения члены в выражении для не содержащие можно опустить. К дифференциальным уравнениям движения следует добавить уравнений геометрических связей

полученных из (12.2.7).

Уравнения Гиббса — Аппеля представляют наиболее простую и в то же время наиболее общую форму уравнений движения. Исключительно простые по форме, они с равным успехом могут быть применены как к голономным, так и к неголономным системам и позволяют легко вводить квазикоординаты.

При пользовании этими уравнениями сначала определяют число степеней свободы системы к и составляют так называемую «кинетическую энергию ускорений» выраженную через к ускорений . В результате получают функцию В общем случае в нее входят все координат и скоростей но существенно то, чтобы в нее входили лишь к выделенных ускорений Выделенные к координат могут быть как лагранжевы, так и квазикоординаты, в зависимости от удобства. Далее рассматривается работа заданных сил на виртуальном перемещении; выражение для этой работы представляется в форме Уравнения движения имеют вид (12.5.1), к ним добавляются к геометрических уравнений (12.5.2), и из совокупной системы дифференциальных уравнений определяются переменных как функции от t.