§ 21.2. Преобразование к новым координатам.
Запишем уравнения (21.1.1) в новых координатах 
задав их формулами
Функции 
будем считать принадлежащими к классу 
в соответствующей области 
пространства 
в автономном случае эта область совпадает с областью 
, введенной ранее для системы (21.1.4). Предполагается, что якобиан 
в области 
не обращается в нуль. При этих условиях преобразование (21.2.1) представляет отображение области 
пространства х в область 
пространства у; если область!) не слишком велика, то это отображение является взаимно однозначным соответствием, непрерывным и дважды дифференцируемым в обоих направлениях. Уравнения (21.1.2),
преобразуются в следующие:
где через 
обозначено 
выраженное через координаты у и время t.
Уравнения (21.2.2) и (21.2.3) устанавливают соответствие между движениями в пространстве жив пространстве у. Пусть 
некоторая точка в области 
соответствующая ей точка в области 
Далее, пусть 
точка, достигаемая в момент t на траектории системы (21.2.2), начинающейся в точке 
а у — точка, достигаемая в момент t на траектории системы (21.2.3), начинающейся в точке 
Тогда х и у будут соответственными точками для всех значений 
при которых 
Пусть теперь 
пространственный интеграл системы (21.2.2). Тогда 
и при движении в 
-пространстве координата 
сохраняет постоянное значение, скажем, 
Тогда система (21.2.3) может быть заменена системой
причем функции 
получаются из функций 
путем замены 
на 
Таким образом, воспользовавшись известным интегралом системы (21.2.2), мы уменьшили число координат с 
до 
Подобно этому, если известны 
независимых пространственных интегралов 
то можно эти функции выбрать в качестве 
первых составляющих в преобразовании (21.1.1) и таким образом уменьшить число координат стдот — 
Рассмотрим частный случай автономной системы, для которой известны 
независимых пространственных интегралов 
отмечалось выше, траектории системы определяются как линии пересечения поверхностей 
Рассмотрим траекторию, соответствующую некоторой фиксированной системе значений 
и найдем соотношение, связывающее положение точки на траектории со временем. Это соотношение дается уравнением
в котором 
получается из 
если его выразить через 
с помощью формул
Высказанные утверждения вполне очевидны; формальное доказательство можно получить, применив преобразование
