Глава III. ПЕРВАЯ ФОРМА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ

§ 3.1. Основное уравнение.

Рассмотрим механическую систему, определенную в § 2.2. Имеем уравнений движения

Реакции связи удовлетворяют условию

для любого виртуального перемещения Отсюда немедленно вытекает основное уравнение механической системы

Это уравнение справедливо для любого виртуального перемещения. Одновременно оно является обобщением принципа виртуальной работы в статике и принципа Даламбера для твердого тела. Важное значение имеет то, что это уравнение не содержит реакций связи. Впервые основное уравнение было получено в 1760 г. Лагранжем; см. [4]. Оно является основным уравнением излагаемой нами теории. Мы представим его в нескольких различных формах и форму (3.1.1) будем называть первой формой основного уравнения.

Основное уравнение можно также без труда получить из уравнений движения (2.2.13), приведенных в § 2.2. Умножая уравнение

на и суммируя от до находим

Поскольку виртуальные перемещения, правая часть в силу (2.2.9) обращается в нуль, и мы вновь приходим к (3.1.1).

Пользуясь обозначениями § 2.2, можно записать основное уравнение (3.1.1) в следующей форме:

или, в сокращенных обозначениях,

Напомним, что сокращенные обозначения мы употребляем лишь тогда, когда суммирование производится по координатам.

Эту главу мы посвящаем непосредственным приложениям уравнения (3.1.1).