§ 9.4. Наложение связи.

Если на колебательную систему с степенями свободы наложить одну связь, то получим новую колебательную систему с степенями свободы. При этом система будет обладать следующим свойством: значения периодов свободных колебаний этой системы будут заключены между последовательными значениями периодов свободных колебаний первоначальной системы. В частности, основная частота системы при наложении связи увеличивается.

Для доказательства рассмотрим исходную систему в главных координатах; имеем

Предполагается, что все периоды различны и Уравнение связи возьмем в форме

Для системы с наложенной связью удобно воспользоваться теми же самыми координатами; в результате мы придем к голономной системе с избыточными координатами (§ 5.8). Уравнения движения несвободной системы будут иметь вид

где X — неопределенный множитель. Уравнением связи будет (9.4.2). Для главного колебания несвободной системы с периодом имеем

откуда, учитывая (9.4.3), получаем

С помощью уравнения связи (9.4.2) получаем уравнение периодов

Если ни один из коэффициентов не обращается в нуль и исходная система не имеет одинаковых периодов, то один из корней лежит между один — между

Если один из коэффициентов равен нулю, то соответствующая координата остается главной и период главного колебания не изменяется. Если два периода исходной системы одинаковы, то их общее значение является одновременно и периодом несвободной системы.